10. Дайте характеристику трьом режимам поводження системи: рівноважному, перехідному й періодичному. Розрізняють три характерних типи поводження, або три режими, в яких може перебувати динамічна система: рівноважний, періодичний, перехідний. Рівноважний режим функціонування, або рівновага системи — це здатність її зберігати свій стан як завгодно довго (як за відсутності, так і за наявності зовнішніх збурювальних впливів). Під стійкістю системи розуміють здатність системи повертатися до стану рівноваги після виведення її з цього стану під впливом зовнішніх збурень. Стан рівноваги, до якого система здатна повертатися, називають стійким станом рівноваги. У складних кібернетичних системах залежно від характеру досліджуваних задач і типу збурень застосовують різні критерії стійкості. Одним із найбільш поширених є критерій стійкості за Ляпуновим. Стан системи z0 = z(t0) буде стійким за Ляпуновим для всіх якщо для довільної заданої області допустимих відхилень цього стану (область e) існує така область d, що траєкторія довільного руху, яка почалась в області d, не вийде за межі області e, що формально можна записати так: Періодичний режим функціонування системи — це режим, коли протягом рівних проміжків часу система приходить до одного й того самого стану (потрапляє в точку фазового простору). Перехідним режимом називається рух динамічної системи з одного стійкого режиму (періодичного або рівноважного) до іншого. Швидкість перехідного процесу характеризує інерційність системи. Усі ці режими характеризують динаміку розвитку соціально-економічних систем.

11. Поняття про стабільність лінійних систем.

Під стійкістю лінійної системи розуміють властивість загасання перехідного процесу з часом, інакше кажучи, – наступна властивість власного (вільного) руху системи:

 при  .

Ця умова буде виконуватися тоді і тільки тоді, коли всі корені   характеристичного рівняння мають від’ємні дійсні частини. 

Якщо ж хоча б один дійсний корінь   характеристичного рівняння буде додатнім чи якщо хоча б одна пара комплексних коренів буде мати додатну дійсну частину, то перехідний процес буде розбіжним

Якщо в характеристичному рівнянні системи є хоча б один нульовий корінь   чи хоча б одна пара чисто уявних коренів  , а всі інші корені мають від’ємні дійсні частини, то будемо говорити, що система знаходиться на границі стійкості. Це випливає з того, що нульовий корінь можна розглядати як границю між від’ємним і додатнім, а чисто уявний корінь - як границюміж комплексними коренями з від’ємною і додатною дійсними частинами. Поводженням системи на границі стійкості цікавитися небудемо, тому що працездатна система автоматичного регулювання повинна бути стійкою з запасом і не наближатися до цієї границі.

Умова стійкості лінійної системи виражається у тім, що всі корені характеристичного рівняння   повинні розташовуватися в лівій півплощині комплексної змінної р. Уявна вісь   площини коренів служить границею стійкості.

Можна виділити два типи границь стійкості лінійної системи, що характеризуються відповідно:

1) нульовим коренем  ;

2) парою чисто уявних коренів  ;

У першому випадку границя стійкості називається аперіодичною, а в другому випадку — коливальною.

12. Які існують види фракталів?

Прийнято виділяти три види фракталів: геометричні, алгебраїчні й стохастичні. 1.Геометричні .Фрактали цього класу найбільш наочні. У двовимірному випадку їх отримують за допомогою деякої ламаної (або поверхні в тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен з відрізків, що складають ламану, замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. В результаті нескінченного повторення цієї процедури, виходить геометричний фрактал.

Один з таких фрактальних об'єктів - триадную криву Коха. Побудова кривої починається з відрізка одиничної довжини - це нульове покоління кривої Коха. Далі кожна ланка (в нульовому поколінні один відрізок) заміняється на утворюючий елемент. У результаті такої заміни виходить наступне покоління кривої Коха. Для отримання кожного наступного покоління всі ланки попереднього покоління необхідно замінити зменшеним утворюючим елементом. Крива n-го покоління при будь-якому кінцевому n називається предфракталом.

2) Алгебраїчні фрактали.

Це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найбільш вивчені двовимірні процеси.

Якщо нелінійна динамічна система володіє декількома стійкими станами, то кожний стійкий стан володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково попаде в аналізовані кінцеві стани. Таким чином, фазовий простір системи розбивається на області тяжіння атракторів. Забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Міняючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Прикладом є множина Мандельброта.

3) Стохастичні фрактали.

Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять у тому випадку, якщо в ітераційнім процесі випадковим чином міняти якісь його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні - несиметричні дерева, порізані берегові лінії і т. д. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості і поверхні моря.