96. B чому проявляється катастрофа типу складка, зборка?

Найпростіший тип катастрофи іменована складкою. Передбачається, що система спочатку перебуває в крапці А на нижній галузях складчастого різноманіття. З ростом змінної р змінна х теж зростає, так що система переходить через крапку В и досягає крапки С. У даній крапці змінна р перетинає особливість S₁, і система робить «катастрофічний» стрибок на верхню галузі різноманіття в крапку C’. Подальше зростання змінної р веде систему далі за крапку D.

Якщо ж змінна р починає тепер убувати, то система продовжує випливати уздовж верхньої галузей різноманіття через крапку Е до крапки F. У цій крапці змінна р перетинає особливість S₂, і система робить «катастрофічний» повернення на нижню галузі різноманіття в крапку F’, після чого подальші зміни змінної р ведуть систему або до крапки А, або до крапки В доти, поки вона знову не перетне особливість S₁.

Більш складний тип катастроф – зборка. Допустимо, що дана система описується змінної х, яка залежить від двох змінних p і q. Завдяки наявності складки на поверхні, що зображує цю залежність, поведінку системи варіює у відповідності зі значеннями p і q.

97. Як проводиться класифікація станів рівноваги для систем другого порядку?

Рассмотрим автономную систему второго порядка вида

Пусть M(x_0, у₀) - состояние равновесия. Это означает, что

Обозначим

Состояние равновесия, для которого Δ≠0 называется простым. Рассмотрим следующие состояния равновесия:

1.Простые состояния равновесия.

Для состояния равновесия может быть составлено характеристи­ческое уравнение

Пусть λ_1, λ₂— корни характеристического уравнения.

Состояния равновесия классифицируются в зависимости оттого, являются ли корни действительными или комплексными числами, их четности и знака.

2.Узлы.

Если λ_1, λ₂— действительные числа одинаковых знаков, то есть λ_1, λ₂> 0 ил и Δ > 0, то состояние равновесия называется узлом:

А. Невырожденный узел: λ_1≠λ₂

а) устойчивый, если σ < 0

б) неустойчивый, если σ > 0

Б. Вырожденный узел: λ₁₌λ₂₌λ

а) устойчивый, если λ<0

б) неустойчивый, если λ > 0

В. Дикритический узел: λ₁₌λ₂₌λ и система может быть приве­дена к виду0

а) устойчивый, если λ < 0 ;

б) неустойчивый, если λ > 0

98. Що являє собою функція катастрофи?

Теорія катастроф аналізує критичні точки (репетиції) потенціальної функції, тобто точки, де не тільки перша похідна функції дорівнює нулю, але й рівні нулю і похідні більш високого порядку. Динаміка розвитку таких точок може бути вивчена за допомогою розкладання потенціальної функції в ряд Тейлора за малих змін вхідних параметрів.

Якщо точки росту не є випадковими, а структурно стабільними, то ці точки існують як центри організації для особливих геометричних структур з низьким рівнем виродженості, з критичними параметрами (високим рівнем катастрофічності) в оточуючих їх областях фазового простору. Якщо потенціальна функція залежить від трьох або меншого числа активних змінних, і п'яти або менше активних параметрів, то в цьому випадку існує всього сім описаних узагальнених структур геометрій біфуркацій, яким можна приписати стандартні форми розкладу в ряд Тейлора, в які можна розкласти критичні точки за допомогою дифеоморфізму (гладкої трансформації, інверсія якої є теж гладкою). Сьогодні ці сім фундаментальних типів відомі під іменами, які їм дав Рене Том.

Функції з однією змінною:

Катастрофа типу Складка V = x³ + ax

Катастрофа типу Збірка V = x⁴ + ax² + bx

Катастрофа типу Хвіст ластівки V = x⁵ + ax³ + bx² + cx

Катастрофа типу Метелик V = x⁶ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx

Потенціальні функції з двома змінними: Гіперболічна омбіліка V = x³ + y³ + axy + bx + cy Еліптична омбіліка V = x³ / 3 − xy² + a(x² + y²) + bx + cy Параболічна омбіліка V = yx² + y⁴ + ax² + by² + cx + dy