65. Які явища в поводженні системи можуть указувати на наявність катастрофи?

Одним з основних результатів нелінійного підходу є визнання можливості різноманітного розвитку систем, наявності біфуркації. У динамічних системах можливо не тільки гладке (безперервне) і відносно передбачуване поводження, але й різкі стрибкоподібні зміни. Такими стрибкоподібними змінами в змінні стани динамічної системи займається теорія катастроф. Ця теорія має справу з менш ефектним поводженням. B рамках даної теорії розглядаються питання як технічного напрямку (перекидання судів), соціологічного (раптові спалахи агресивності, бунти), так і економічного (обвал фондового ринку).

Предметом теорії катастроф є вивчення залежності якісної природи рішень від значень параметрів, що є присутнім у заданих рівняннях.

Отже, предметом вивчення теорії катастроф є класифікація станів рівноваги градиентных систем, які можуть проявлятися як раптові перегони — катастрофи — у поводженні динамічної системи.

Основними припущеннями теорії катастроф є:

1. Система є динамічною, тобто її стан змінюється в часі.

2. Принцип максимального зволікання: система прагне зберігати свій стан якомога довше.

3. Поточний стан системи залежить від того, яким чином система прийшла в цей стан.

4. Траєкторії системи необоротні, тобто при зміні керуючих параметрів системи на протилежні, система не обов'язково прийде до початкового стану.

Катастрофою називається різка, стрибкоподібна зміна стану системи при повільній зміні її параметрів (або керуючих змінних).

Теорія катастроф застосовується для вивчення багатьох проблем, включаючи крах фондових бірж, поводження уряду, макромоделі, структурні аспекти припущення Вальраса та ін..

Відкриття того, що прості нелінійні моделі можуть демонструвати складну й хаотичну динаміку, підштовхнуло деяких економістів до того, щоб зацікавитися цією галуззю. Однак у літературі немає стандартного визначення хаосу. Тому можна лише перелічити типові характерні риси цього явища.

Нелінійність. Якщо процес лінійний, він не може бути хаотичним.

Детермінізм. B основі явища хаосу лежать детерміновані, а не імовірнісні, правила.

Чутливість до початкових умов. Мала зміна в початковому стані системи може провести до радикально відмінного поводження й іншому кінцевому стану

Стійка нерегулярність. Прихований порядок, що включає велику або нескінченну кількість нестійких періодичних проявів, характеризує хаотичне явище. Цей прихований порядок формує інфраструктуру системи: хаотичний (дивний) аттрактор. Динаміка в хаотичному атракторі – эргодична.

66. Якою формальною моделлю можна видобразити грошові й товарні потоки?

Модель оцінки валютних потоків в умовах кризи. Змоделюємо загальну схему руху грошово-фінансових і товарних ресурсів. Уведемо ряд позначень:

W_вx(t,i) — швидкість приходу деякого ресурсу в i -й вузол, (кількість/час);

W_виx(t,i) — швидкість відходу деякого ресурсу з i - го вузла;

W_утв (t,i) — швидкість утворення деякого ресурсу в i-м вузлі;

W_зн(t,i) — швидкість зникнення деякого ресурсу в i -м вузлі;

W_зм(t,i) — швидкість зміни вартості капіталу в i -м вузлі за рахунок макропричин;

с_вx(t, i) — ціна одиниці кількості вхідного потоку в i –й вузол;

c_вих(t, i) — ціна одиниці кількості вихідного потоку з i -го вузла;

V(t, i) — величина деякого ресурсу, накопичена в i -м вузлі.

B найпростішому випадку зміна ресурсу V буде описуватися рівнянням:

Зміна вартості у грошові формі буде задовольнять рівнянню:

D [c(t,i)·V(t,i)]/dt = c_вx(t, i)·W_вx(t, i)- c_вих(t, i) ·W_виx(t, i)+W_зм(t, i).

Модель валютної паніки. Паніка за своєю природою є ланцюговим, лавиноподібним процесом, що розвивається в середовищі з великою, разом з тим, обмеженою кількістю учасників. До такого роду процесів у природі відповідають епідемії, хімічні реакції, у соціально-економічній сфері - валютні, біржові паніки, створення й розвиток фінансових «пірамід», поширення реклами й та ін.

Будемо вважати, що кількість (N) тримачів грошей велика, сума вільних коштів у кожного тримача однакова. Кількість бажаючих поміняти ці кошти на валюту в початковий момент часу t₀ дорівнює п₀. Цих бажаючих можна назвати «зараженими» вірусом паніки і їх кількість на момент часу t — n (t).

Тоді рівняння для частини «заражених» k(t): dk(t)/dt=(1- k(t))·(1-e ^-r·k(t)), де k(t)=n(t)/N.

Модель Самуельсона-Хікса з періодичними коефіцієнтами. Представимо ще один приклад стохастичної моделі економічної динаміки.

Розглянемо рівняння моделі Самуельсона - Хікса:

C(t)= ·Y(t-1)+C; I(t)= ·Y(t-1)- Y(t-2)+I; Y(t)= C(t)+ I(t)+ G(t),

де Y(t) — національний доход у момент часу t; C(t) - споживання; I(t) -інвестування; G(t) — державні витрати; 0 < < 1 — гранична схильність до споживання; а — акселератор; C — автономне споживання; I — автономне інвестування.