56. Яким образом може бути представлена потенційна функція системи при наявності катастрофи?

Про наявність катастрофи свідчать спеціальні критичні точки сімейства потенційних функцій, якими описується система або явище. Однак такі точки часто не можуть бути розпізнані відразу. Наприклад, потенційна функція є дуже складною або точно не відома.

Введемо поняття канонічної форми. Якщо в деякому стані градієнт системи відмінний від нуля, то відповідно до теореми про неявну функцію можливо таке перетворення координат, що потенційна функція приймає лінійний вид:

Введемо поняття морсовської форми. Якщо розглянута система перебуває в стані рівноваги, то градієнт функції дорівнює нулю, тому застосувати теорему про неявну функції неможливо і канонічне уявлення не має місця. Тип рівноваги визначається власними значеннями матриці стійкості якщо визначник Vij відмінний від нуля, то теорема Морса гарантує існування такої гладкої заміни змінних, що потенційна функція може бути представлена ​​квадратичноюформою:

де лямда - власні числа матриці стійкості, обчисленої в точці рівноваги. Якщо потенційна функція залежить від однієї або більше управляючих параметрів, то матриця стійкості Vij і її власні значення також залежать від цих параметрів. У цьому випадку цілком можливо, що при деяких значеннях керуючих параметрів одне або кілька власних значень матриці стійкості можуть звернутися в нуль. Тоді і det Vij = 0, і умови застосування леми Морса не виконуються, отже, уявлення у вигляді квадратичної форми виявляється неможливо. Однак можна знайти деяке розщеплення, що дозволяє відокремити координати, відповідні нульовим власним значенням, і решту:

где Cat (l, k) — функція катастрофи:

CG(l,k) - росток катастрофи, Pert (/, k) — обурення, l - кількість нульових власних значень матриці стійкості.Параметри потенційної функції визначають також кількість і характер її екстремумів. Це наочно видно, якщо розглянути поліноміальні функції видуV (x, a) = xn + alxn -1 + .. + an,де деякі а, можливо, дорівнюють нулю.

57. Для чого застосовуються фрактали в дослідженні складних систем?

Математичний апарат, побудований на основі уявлень про фрактали і фрактальні множини, дозволяє пояснити або Навіть передбачити експериментально спостережувані факти і явища в різних галузях науки (космологія, теорія турбулентності, хімічна кінетика, фізика полімерів). Можливості такого інструменту моделювання складних систем використовуються для аналізу процесів в соціально-економічній сфері, зокрема, в дослідженнях поведінки різних ринків.

Фракталами називають такі об'єкти, які мають властивість самоподібності, або, як ще кажуть, масштабної інваріантністі. Це означає, що малий фрагмент структури такого об'єкта подібний до іншого, більш крупному фрагменту або навіть структурі в цілому, «якою є людина, такий і соціум», тобто частина зберігає властивості цілого. Виходячи з цього твердження, можна зробити висновок, що вирішення всіх соціально-економічних проблем знаходиться в самій людині (в його мировидении, ідеалах, нормах поведінки, тра-диціях і т. Д.).

Фрактальними є процеси зі зворотним зв'язком, в яких вихідні характеристики функціонально пов'язані з вхідними, при чому цей зв'язок є нелінійним. Такі процеси спостерігаються в системах абсолютно різної природи, що функціонують на принципах відносин «ресурс-споживач».

Фрактальна природа соціуму обумовлена ​​дискретним розподілом в просторі, як генераторів нових ідей, як і їх провідників і споживачів, як джерел сировини, підприємств з його переробки, так і ринків реалізації продукції. Взаємодія цих дискретно розташованих інгредієнтів «реакції», тим не менше, можливо і призводить до фрактальної просторової картини процесу, тимчасовий зріз якої демонструє нам складний квазіперіодичний характер.