47. Розв’язування задач оптимального управління.

Постановка будь-якої конкретної задачі оптимального управління включає в себе ряд факторів: математичну модель керованого об'єкта, мета управління (іменовану іноді критерієм якості), різного роду обмеження на траєкторію системи, керуючий вплив, тривалість процесу управління, клас допустимих управлінь і т.д. Зупинимося на цих факторах докладніше.

Моделі об'єкта

В залежності від виду розглянутого явища і бажаного ступеня деталізації його вивчення можуть бути використані різні типи рівнянь: звичайні диференціальні рівняння, рівняння з післядією, стохастичні рівняння, рівняння в приватних похідних і т.д. Припустимо заради визначеності, що еволюція об'єкта описується системою звичайних диференціальних рівнянь

Тут uk R m - управління, xk R n - фазовий вектор системи, fk R n - задана функція, R n - евклідів простір розмірності n. Надаючи управлінню u різні можливі значення, отримуємо різні стани об'єкта, серед яких і вибирається оптимальне (тобто найкраще) в тому чи іншому сенсі.

Інші моделі керування чисельністю популяцій описуються рівняннями в приватних похідних, рівняннями В. Вольтерра, стохастичними рівняннями та ін і враховують такі фактори, як міграцію, неоднорідність щільності розселення, неоднорідність по віку і т.д.

Критерій якості

(Минимизируемого функціонал)

Управління системою (1) здійснюється для досягнення деяких цілей, які формально записуються в термінах мінімізації по u функціоналів J, що визначаються управлінням і і траєкторією х, де

Тут F і j - задані скалярні функції. Завдання (1), (3) іменується завданням О. больцах; якщо F Ї 0, то завданням А. Майера і, нарешті, завданням Лагранжа при j Ї 0.

Обмеження на траєкторію

У деяких реальних ситуаціях траєкторія системи не може належати тим чи іншим частинам простору R n. Вказана обставина знаходить відображення в обмеженні виду x (t) k G (t), де G (t) - задана область в R n. В залежності від конкретного типу цих обмежень виділяють різні класи задач управління. У завданнях з фіксованими кінцями початковий стан x (t0) і кінцевий стан x (T) задані. Якщо ж x (t0) (або x (T)) не задано, то отримуємо задачу з вільним лівим (правим) кінцем. Завдання з рухомими кінцями - це задача, в якій моменти t0 і T фіксовані, а вектори x (t0) і x (T) належать відповідно областям G (t0) і G (T). У ряді випадків обмеження носять інтегральний характер і мають вигляд

Якщо в задачі (1), (3) початкове положення x (t0) і кінцеве x (T) задані, моменти початку руху t0 і закінчення T вільні, функція j Ї 0 і F Ї 1, то одержуємо задачу про переведення системи (1 ) з положення x (t0) в положення x (T) за мінімально можливий час. Подібного роду завдання іменуються завданнями оптимальними за швидкодією.

Обмеження на керування

Інформаційні обмеження на управління залежать від того, яка саме інформація про систему (1) доступна при виробленні керуючого впливу. Якщо вектор x (t) недоступний вимірюванню, то оптимальне управління шукається в класі функцій u (t), що залежать тільки від t. У цьому випадку оптимальне управління іменується програмним. Якщо ж вектор x (t) відомий точно при t0 # t # T, то оптимальне управління шукається в класі функціоналів і називається синтезом оптимального управління (або управлінням за принципом зворотного зв'язку). Тут означає всю траєкторію руху на відрізку t0 # s # t. Відзначимо, що принцип зворотного зв'язку є одним з центральних принципів кібернетики [1]. Технічним прикладом реалізації принципу зворотного зв'язку є відцентрові регулятори І.І. Ползунова (1766) і Дж. Уатта (1784), авіаційний автопілот Д. Ольховського (1912) і братів Сперрі (1914), гідравлічний підсилювач Л. Фарко (1873).

Крім інформаційних обмежень можливий і інший тип обмежень, зумовлений обмеженістю ресурсів управління, які мають вигляд u (t) k U (t), де U (t)? R m-заданий безліч.

Підкреслимо, що для детермінованих задач (тобто завдань, у яких рівняння руху, критерій якості і обмеження відомі точно) оптимальне значення критерію якості (3), що реалізовується в класі програмних управлінь і управлінь за принципом зворотного зв'язку, одне і те ж.