Які системи вивчаються в теорії катастроф?
Теорія катастроф - розділ математики, що включає в себе теорію біфуркацій диференціальних рівнянь (нелінійних динамічних систем) та теорію особливостей гладких відображень.
Динамічна система - математична абстракція, призначена для опису і вивчення еволюції систем в часі.
Особливість, або сингулярність в математиці - це точка, в якій математичний об'єкт (зазвичай функція) не визначено або має нерегулярне поведінку (наприклад, точка, в якій функція недиференційована). Точка називається особливою точкою функції, якщо в цій точці функція має розрив або у неї не існує похідна. При цьому говорять, що функція має особливість в цій точці.
Терміни «катастрофа» і «теорія катастроф» означає різку якісну зміну об'єкта при плавній кількісній зміні параметрів, від яких він залежить). Одним з головних завдань теорії катастроф є отримання так званої нормальної форми досліджуваного об'єкта (диференціального рівняння або відображення) в околиці «точки катастрофи» та побудована на цій основі класифікація об'єктів.
Теорія катастроф аналізує критичні точки (репетиції) потенційної функції, тобто точки, де не тільки перша похідна функції дорівнює нулю, але і дорівнюють нулю ж похідні вищого порядку. Динаміка розвитку таких точок може бути вивчена за допомогою розкладання потенційної функції в рядах Тейлора допомогою малих змін вхідних параметрів. Якщо точки росту складаються не просто в випадковий шаблон, але формують структуровану область стабільності, ці точки існують як організуючі центри для особливих геометричних структур з низьким рівнем катастрофічності, з високим рівнем катастрофічності в оточуючих їх областях фазового простору. Якщо потенційна функція залежить від трьох або меншого числа активних змінних, і п'яти-менш активних параметрів, то в цьому випадку існує всього сім узагальнених структур описаних геометрій біфуркацій, яким можна приписати стандартні форми розкладань в ряди Тейлора, в які можна розкласти репетиції за допомогою дифеоморфізмів (гладкою трансформації, звернення якої також гладко).
Модель рівноваги Вальраса.
Основна
ідея Вальраса полягає у тому, щоб за
певної системи цін індивідуальні плани
(наміри) учасників стали спільними,
тобто така система цін забезпечує
розподіл ресурсів і продукції на основі
розв’язання конфлікту між споживачами
та виробниками. Таку рівноважну ситуацію
називають конкурентною рівновагою.
У
моделі Вальраса розглядається економіка
з l споживачами (i = 1, …, l), m виробниками
(k = 1, …, m) і n типами товарів (j = 1, …, n).
Через p = (p1,…, pn) позначатимемо вектор-рядок
цін, а через x = (x1, …, xn) — вектор-стовпчик
товарів.
функція
попиту споживача може бути задана таким
чином:
(9.4) Під
функцією пропозиції фірми розуміють
один чи кілька векторів витрат—випуску,
котрі за заданих цін p
максимізують прибуток:
(9.5)
тобто функція попиту — це така множина
допустимих наборів товарів, кожний із
яких (наборів) максимізує корисність
споживача за заданого рівня цін p.
Розподіл виробництва здійснюється
обранням вектора витрат—випуску yk
із технологічної множини виробничих
можливостей Yk
для кожного виробника (k
= 1,
…,
m),
сума
являє
собою сукупний (інтегрований) виробничий
процес. Розподіл споживання здійснюється
через вибір кожним споживачем меню
споживання:
є
вектором сукупного попиту, деякі з
компонент якого можуть бути від’ємними,
якщо вони є пропозицією (наприклад
праця).
Під спільним розподілом виробництва і споживання мають на увазі такий набір векторів споживання і векторів витрат—випуску
для якого сукупний попит збігається із сукупною пропозицією, тобто
(9.7)
Набір
задає
конкурентну рівновагу в моделі Вальраса,
якщо:
(9.8)
(9.9)
(9.10)
Тут p* називають вектором конкурентних цін.
Таким чином, конкурентна рівновага являє собою сумісний розподіл виробництва та споживання, а сукупний попит у цьому разі не перевищує сукупної пропозиції (9.9). Вартість сукупного попиту в конкурентних цінах дорівнює вартості сукупної пропозиції в тих самих цінах (9.10).