41. Які виділяються види диференціальних рівнянь 1-го порядку?

Рівняння вигляду   (1) називається звичайним диференціальним рівнянням, де F - відома функція; х - незалежна змінна; y(x) - шукана функція.

          Найбільший порядок похідної функції y(x), яка входить до рівняння, називається порядком диференціального рівняння. Наприклад,

 - рівняння I-го порядку

Рівняння І-го порядку має вигляд:    

Розв’язком диференціального рівняння (2) або (3) на інтервалі   називається неперервно диференційована функція  , яка перетворює це рівняння в тотожність на  , тобто

  

Звичайні диференціальні рівняння першого порядку.

Рівняння вигляду    (1) або    (2) називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Поділивши обидві частини рівняння (1) на  , запишемо його у вигляді  , де  .Якщо  , то функція   є розв’язком рівняння (1). Рівняння виду   заміною   зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. 

Однорідні диференціальні

Функція   називається однорідною степеня  , якщо для всіх   виконується рівність  Диференціальне рівняння виду   (1) називається однорідним, якщо функція   - однорідна функція степеня нуль.Будь-яке однорідне рівняння можна привести до вигляду  . Заміна   приводить однорідне рівняння (1) до рівняння з відокремлюваними змінними  .Диференціальне рівняння виду   (2) буде однорідним, якщо функції   і   - однорідні функції однакового ступеня.

Лінійні однорідні рівняння I-го порядку

Лінійним однорідним рівнянням називається рівняння вигляду  ,   Поділивши на  , одержимо:  . Функція   є розв’язком цього рівняння. У такому рівнянні змінні відокремлюються:  . Проінтегруємо:

;    ;

Об’єднавши розв’язки отримаємо загальний розв’язок рівняння 

Рівняння в повних диференціалах 

Рівняння виду   (1) називається рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції  , тобто

.  (2)Звідси видно, що всі розв’язки рівняння (1) задовольняють умову  , де  довільна стала.

Для того, щоб рівняння (1) було рівнянням в повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб  .

Уравнения не разрешенные относительно производной

Общий вид : F(x,y,y')=0,

1. Случай, когда из уравнения F(x,y,y')=0 можно выразить y' через x, y.

2. Случай, когда уравнение F(x,y,y')=0 можно разрешить относительно у (простейший вариант метода введения параметра).

3. Случай, когда уравнение F(x,y,y')=0 можно разрешить относительно х.

4. Уравнение Лагранжа y=xφ(y')+ψ(y'). Уравнение Клеро y=xy'+ψ(y')

42. Взаємозв’язок акселератора з мультиплікатором.

Вперше теорія мультиплікатора стала застосовуватися для обгрунтування антикризової політики. З її допомогою намагалися не допустити подальшого загострення економічної кризи та катастрофічного збільшення масового безробіття. За допомогою цієї теорії пропонувалося урядам вирішити ряд проблем: як подолати кризу, як скоротити безробіття, і, найголовніше, як врятувати ринкову економіку. Свій подальший розвиток теорія мультиплікатора одержала в принципі акселерації.  Традиційний погляд класичної теорії на процеси заощадження та інвестування підкреслює благотворність високих заощаджень. У реальній дійсності спостерігається взаємодія інвестицій і доходу. Автономні інвестиції, здійснені у вигляді початкової «ін'єкції», внаслідок ефекту мультиплікатора приводять у зростання ВНП. Пожвавлення ділової активності, зростання зайнятості приведуть до підвищення схильності до інвестицій у різних груп підприємців. Ці інвестиції прийнято називати похідними. Вони залежать від динаміки ВНП. Похідні інвестиції, будучи «накладеними» на автономні, посилюють економічний ріст, прискорюють його завдяки ефекту акселератора.  Таким чином, ефект акселератора в поєднанні з ефектом мультиплікатора породжує ефект мультиплікатора-акселератора. Ця модель була розроблена П. Самуельсоном і Дж. Хіксом, англійським економістом. Ефект мультиплікатора-акселератора показує механізм самоподдерживающихся циклічних коливань економічної системи. 

Також, взаємодія мультиплікатора і акселератора породжує безперервний і прогресуючий зростання випуску продукції або доходу.  Якщо теоретично взаємодія мультиплікатора і акселератора допускає вибухонебезпечні коливання, то на практиці вибухів не відбувається, оскільки коливання доходу наштовхуються на певні межіТаким чином, коли національний дохід досягає верхньої або нижньої межі, він змінює рух на протилежне, що виключає як вибух, так і повне згасання циклу. 

У реальному економічному житті не існує постійних коефіцієнтів мультиплікації і акселерації в силу дії таких змінних факторів, як науково-технічний прогрес, сальдо торговельного балансу, товарні запаси, ступінь монополізації виробництва і т. д.