21. Проведіть аналіз дисипативних систем для макроекономіки.

Дисипати́вна систе́ма (або дисипати́вна структу́ра) — відкрита нелінійна система, яка є далекою від стану рівноваги. Внаслідок самоорганізації у таких системах можуть виникати стійкі структури, які існують за умови постійної дисипації, тобто втрати системою енергії. З появою складної впорядкованої структури в системі зростає ентропія, яка компенсується негативним потоком ентропії зовні.

Дисипативна система також може називатися нерівноважною або стаціонарною відкритою системою.

22. Що затверджує теорема Ляпунова про стійкість?

Нехай є лінійна система, яка описується рівняннями динаміки:

.

Теорема Ляпунова про стійкість. Якщо для цієї системи рівнянь  існує знаковизначена функція V(Y), похідна якої   є знакопостійною функцією протилежного знака, то рішення системи  стійке. Теорема Ляпунова про асимптотичну стійкість. Якщо для системи рівнянь існує знаковизначена функція V(y), похідна якої  є знаковизначеною функцією, але протилежного знака, то рішення системи буде стійким асимптотично. Теорема Ляпунова про нестійкість. Якщо для системи рівнянь існує яка-небудь функція  V(y), похідна якої   є знаковизначеною функцією, причому в будь-якому як завгодно малому околі початку координат є область, у якій знак V(y) збігається зі знаком F(y)  рішення системи   нестійке. Теореми Ляпунова дають достатні умови стійкості (нестійкості) рішення   нелінійної системи. Це означає, що якщо умови теорем задовольняються, то система стійка (нестійка). Але це не означає, що система не може бути стійкою (нестійкою) і за межами цих умов. Наскільки повно умови теореми охоплюють дійсну область стійкості системи, залежить від вибору функції Ляпунова V(y).

23. Які методи застосовуються для виявлення хаотичного поводження?

Траєкторії, які граничать з нестійкою періодичною траєкторією, розходяться від неї і є нестійкими. Із-за нестійкості динамічної системи їх нелегко виявити. У економіці є численні роботи відносно виявлення складної та хаотичної поведінки. Стандартні метричні методи, наприклад, спектральний аналіз або функції автокореляції не можуть розрізнити, цих методів недостатньо, щоб забезпечувати надійні результати. Фактично, тест виміру кореляції, метричний підхід широко використовується в природних науках, але його використання у економічних даних було би проблематичним. Такі моделі зашумлені даними. Щоб уникнути цих труднощів метричного підходу, був розроблений метод виявлення детермінованого хаосу, названий топологічним. Він має такі переваги: - може застосуються до невеликих наборів даних - стійкий до шуму - забезпечує додаткову інформацію про основну систему - можлива реконструкція дивного аттрактора. Аналіз повторень може представити корисну методологію виявлення повернень (циклів) в дослідженні хаотичних систем. За допомогою графіку повторень можливо виявити кореляцію в даних, яку неможливо знайти в початковому тимчасовому ряду. Це - двовимірне представлення траєкторії системи. Для виявлення нестійкої і хаотичної поведінки використовується теорія Флоке, що розширює теорії стійкості Ляпунова. Стійкість системи визначається власними векторами матриці переходу, якщо більша частина усіх множників Флоке негативна, рішення стійке, тоді як позитивні показники вказують на нестабільність.