20. B чому відмінність поняття стійкості для стохастичних систем?

Детерміністична теорія стійкості являє собою один з розділів якісної теорії динамічних систем. Більшість результатів стосується певних якісних або кількісних (але не пов'язаних з дійсним обчисленням рішень) властивостей диференціальних рівнянь.

Завдання стохастичної стійкості виникають в теорії управління при розгляді систем, на які впливають зовнішні неконтрольовані, випадкові дії. Якщо при цьому відома бажана область роботи системи, то завдання оцінки ймовірності знаходження в цій галузі є вельми практичними.

Розглянемо суворо марківський процес xt, з невипадковим початковою умовою х0 з непорожньої відкритої множини R, що містить початок координат. Нехай Р - деяка множина, що містить R. Тоді виникає кілька завдань:

(1) чи існує така множина R, що для деяких заданих ρ і Р для будь-якого має місце нерівність:

(2) У розвиток задачі (1): чи можна для кожних фіксованих Р і ρ <1 знайти відповідне R?

(3) Знайти оцінку найбільшої множини R при фіксованих Р і ρ з задачі (1).

(4) Задача рівномірної обмеженості: яке значення

якщо P - задане обмежена множина?

(5) Визначити найменшу множину, що містить всі межі з імовірністю 1 процесу

(6) Завдання на момент першого виходу: оцінити ймовірність

(7) Чи існує кінцевий марківський момент часу τ, такий, що

(8) Нехай , де ρ- деякий марківський процес. Чи утворює пара (x_t, p_t) поворотний процес, тобто такий, у якого ймовірність виходу з довільної області дорівнює 1?

Розглянемо наступні визначення.

Визначення 1. Стан х = 0 називається стійким з імовірністю 1, тоді і тільки тоді, коли для будь-яких ρ> 0 і ε>0 існує таке δ (ρ,ε)> 0, що

Визначення 2. Система називається стійкою по відношенню до трійці (Q, Р, ρ), тоді і тільки тоді, коли

Визначення 3. Стан х = 0 в просторі станів називається асимптотично стійким з імовірністю 1 в тому і тільки тому випадку, коли воно є стійким з імовірністю 1 і, крім того, x_t → 0 для всіх х0 з деякою околиці R цієї точки. Якщо ж R є весь простір, то стан асимптотично стійкий у великому.

Визначення 4. При заданому стані х процес x_t називається рівномірно обмеженим величиною ε з імовірністю ρ у тому випадку, якщо

Визначення 5. Стан х = 0 в просторі станів називається експоненціально стійким з імовірністю 1 в тому і тільки тому випадку, коли воно стійко з імовірністю 1 і при всіх Т <∞

де К <∞,а> 0.

Визначення 6. Стан х = 0 в просторі станів називається нестійким з імовірністю ρ у тому і тільки тому випадку, коли

Визначення 7. Процес називається фінально обмеженим з імовірністю 1 величиною m в тому випадку, коли для кожного х з Е існує таке кінцеве (з ймовірністю 1) випадкове час τ(х),що

або

Визначення 8. Позначимо через x_t і x’t процеси, відповідні початковим умовам х0 і х'0. Процес називається рівно обмеженим з імовірністю 1 в тому випадку, якщо при фіксованій нормі різниці

рівномірно по х, х '.

Визначення 9. Процес називається рівномірно стійким з імовірністю 1 - в тому випадку, якщо він задовольняє визначенню 8 і для будь-якого фіксованого ε> 0

рівномірно по х, х '.