22. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
A·x + B·y + C·z + D = 0 — общее уравнение плоскости. Из уравнения плоскости и постановки задачи следует геометрический смысл коэффициентов А, В, С — координаты вектора, перпендикулярного плоскости.
Расстояние от точки до плоскости
Пусть дана плоскость A·x + B·y + C·z + D = 0 и точка M0(x0, y0, z0). Так как точка M0(x0, y0, z0) не лежит на плоскости, то
A·x0 + B·y0 + C·z0 + D = α ≠ 0.
Выберем произвольную точку M(x, y, z) на плоскости. В этом случае имеем
A·x + B·y + C·z + D = 0.
Вычитая из первого соотношения второе, получим
A·(x - x0) + B·(y - y0) + C·(z - z0) = α.
Последнее соотношение представляет собой скалярное произведение нормального вектора плоскости и вектора M0M в координатной форме. По определению скалярного произведения имеем
или
Или
окончательно
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
Пусть даны три точки M0(x0 , y0, z0), M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), которые лежат в одной плоскости. Пусть М (x, y, z) произвольная точка этой плоскости. Тогда векторы M0M, M0M1, M0M2 лежат в одной плоскости и их смешанное произведение равно нулю:
M0M×(M0M1·M0M2) = 0
Расписывая смешанные произведения в координатной форме, получим:
Раскроем определитель по первой строке:
Если
ввести обозначения
, 
,
то получим A·(x
- x0)
+ B·(y
- y0)
+ C·(z
- z0)
= 0, уравнение
плоскости.
23. Прямая в пространстве. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Векторное уравнение прямой линии в пространстве
Пусть дана точка М0(х0, у0, z) (опорная точка прямой) и направляющий вектор р(l, m, n). Составить в векторном виде уравнение прямой линии, проходящей через точку М0 в направлении вектора р. Пусть М (х, у, z) - текущая точка прямой. Тогда векторы M0M и pколлинеарны. По условию коллинеарности векторов можно записать
|
(13.1) |
(- ∞ <t< + ∞)
и представить соотношение(13.1) в виде
|
(13.2) |
(- ∞ <t< + ∞)
Уравнение (13.2) является уравнением прямой линии в векторном параметрическом виде.
Параметрическое уравнение прямой линии
Векторное уравнение (13.2) в координатной форме представляется следующим образом
|
(13.3) |
Каноническое уравнение прямой линии в пространстве
Исключив t из уравнения (13.3), разрешив их сначала относи-тельноt, а затем, приравняв правые части равенств, имеем:
|
(13.4) |
Если какая – либо координата направляющего вектора равна нулю, то равен нулю и числитель дроби.
Уравнение прямой линии в пространстве, проходящей через две заданные точки
Пусть заданы две точки М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2), через которые должна проходить прямая линия. Примем за направляющий вектор прямой вектор
.
Поэтому уравнение (13.4) примет вид
.
Общее уравнение прямой линии в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана также как пересечение двух плоскостей, если плоскости не параллельны:
Все формы задания прямой в пространстве взаимосвязаны.
Угол между прямыми в пространстве.
Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:
l1:
l2:
;
Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:
Условия парал-ти и перпендик-типрямых в пространстве.
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.
