11. Смешанное произведение векторов. Свойства. Применение.

Смешанным произведением трех векторов

называется число

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1) , если все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны);

2) циклическая перестановка

4) объем параллелепипеда, построенного на векторах и , равен

если a*b*c>0, то тройка a,b,c – правая, если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая

Замечание =0

Условие компланарности 3х векторов.

=0.

=>

12. Векторный базис. Координаты вектора. Разложение вектора по базису.

Базис – группа в-в ч/з котор выражают все лин пространство. В 3хмерном простр-ве базис состоит из 3х некомплан-ныхв-в. В пл-ти 2 в-ра.

Ортогональный базис состоит из взаимноперпендик-ныхв-в. ( )

Нормированный базис состоит из единичных век-ров( ).

По умолчанию берут ортогональный базис.

Разложение по базису:

-проекции или коорд в-ра .

13.Условия коллинеарности, ортогональности, компланарности векторов.

Условие   ортогональности   векторов 

Два  вектора   ортогональны при  условии  равенства нулю их скалярного произведения:

Условие   коллинеарности   векторов 

Если  векторы  коллинеарны (лежат на одной прямой или напараллельных прямых) т.е. угол между ними или 0, или 180⁰, то их векторное произведение равно нулю:

Условие   компланарности   векторов 

 Векторы  компланарны (расположены в одной плоскости), если их смешанное произведение равно нулю:

14. Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Линейные модели обмена.

над полем P, есть линейный оператор, если 1) для любых векторов 2) для любого вектора и любого .

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

1) Матрица линейного оператора: Пусть φ-Л.О. векторного пространства V над полем P и один из базисов V: Пусть Тогда матрица Л.О.φ: 2) Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах: M(φ) - матрица Л.О. φ в старом базисе. M1(φ) - матрица Л.О. φ в новом базисе. Т - матрица перехода от старшего базиса к новому базису. 2)Действия над линейными операторами: Пусть φ и f - различные Л.О. векторного пространства V. Тогда φ+f - сумма линейных операторов φ и f. k·φ - умножение Л.О. на скаляр k. φ·f - произведение линейных операторов φ и f. Являюися также Л.О. вектороного пространства V.

 4) Ядро линейного оператора: d(φ) - размерность ядра Л.О. φ (дефект). 5) Образ линейного оператора: ranφ - ранг Л.О. φ (размерность Jmφ). 6) Собсвенные векторы и собственные значения линейного вектора:

 Пусть φ - Л.О. векторного пространства V над полем P и и Если то λ - собственное значение - собственный вектор Л.О. φ, отвечающий λ.

 Характеристическое уравнение Л.О. φ:

 Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению λ:

 Л.О. вектороного пространства называются Л.О. с простым спектром, если φ, если φ имеет ровно n собственных значений.

 Если φ - Л.О. с простым спектром, то он имеет базис из собственных векторов, относительно которого матрица Л.О. φ диагональна.    

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

     Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

     Если в некотором базисе оператор f имеет матрицуА и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или

     Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера.

     Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения.

Предположим, что n стран или к-либо других автономных сообществ людей осуществляют между собой торговлю. Пусть доход i-ой страны от торговли составляет х ден. ед. - доля дохода, которую j-ая страна тратит на закупку товара у i-ой страны. S - НД

A =

Расходы

Вэкономической лит-ре наз-ся структурной матрицей торговли. Ограничимся ситуацией, когда страна тратит все на покупку собственных товаров и товаров из других стран. Тогда (сумма по столбцу)

Произведение представляет собой выручку i-ой страны от продажи товаров j-ой. Поэтому суммарная выручка i-ой страны от продажи товаров на внутреннем и внешнем рынке:

Сбалансированная торговля – НД и выручка равны м-у собой.

В матричном виде: Х(х₁, х₂,…, х_n)^т – вектор доходов.

X=AX

AX=P