3. Решение с.Л.А.У.

переменные

коэффициенты

i= , j= - свободный член.

4. С.Л.А.У. С квадратичными матрицами и методы их решения (метод Крамера, Гаусса, матричный способ)

Метод Крамера.

Пусть данасис-маn-лин уравнений с nнеизв-ми.

AX=B, B . Основная м-ца такой сис-мы – квадратная. Определ-ль этой м-цы назыв-ся определителем этой системы.

1)

2) , …

3) ; ;

4)Проверка.

Метод обратной матрицы.

М.обр м-цы применяют как метод, если число уравнений = числу неизвестных.

, А= , X=

B= , A*X=B *

A* *X= *B

E*X= *B X= *B/

Cхема решения:

1)вычислить ≠0; 2)

; 4) проверка.

Метод Гаусса.

-метод последоват. исключения переменных.

Этот м-д состоит в том, что при помощи эл-ных преобразований (умн-нияуравн на число≠0, перестановка уравнений, прибавл-иеур-ния к др-му, умнож-му на число) искл-ся переменные.

Сис-маназывсовместной, если она им хотя бы 1 реш. Назывнесовместной, если не им решений.

. Проверка.

Выводы:1-ое уравнение в мет гаусса оставл, а из остальн исключаем неизвестные. 1-ое и 2-ое оставляем, а из ост иключ неизвестные и т.д.

Если получим уравнение вида 0=а, то система назывнесовместной и не им решений. Если получили уравн вида 0=0, то система имеет бесконечное множество решений.

5. С.Л.А.У. С прямоугольными матрицами. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема: Для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной  матрицы  системы совпадал с рангом  матрицы  системы.

Очевидно, что однородная система всегда совместна, поскольку у нее всегда есть тривиальное — нулевое решение.

Совместность однородной системы легко получить из  теоремы   Кронекера-Капелли: добавление столбца правых частей — нулевого столбца, не может увеличить ранг  матрицы.

Однородной с-мой наз-сясис-ма, свободные члены которой =0. Сис-ма всегда совместна, если определ-ль ≠0. 

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система имеет единств решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система неопределенная и имеет бесконечное множ-во решений.

6.Сис-ма однородных уравнений. Фундаментальная система решений

Система линейных уравнений называется однородной, если все коэффициенты правых частей равны нулю:

Однородная система всегда совместна: она имеет тривиальное решение: .

Задача ставится о поиске нетривиального решения. Оно не всегда существует. Так, к примеру, если матрицаАсистемы — квадратная и имеет ненулевой определитель, то, согласно теореме Крамера, нетривиальных решений у однородной системы нет. Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что условие является и достаточным для существования нетривиального решения.

Сис-малиноднородур им ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее м-цыкоэф-тов при переменных меньше числа переменных, т.е. при r(A)<n.

Решения сис-мы линур-ний обладают след св-вами:1)если строка - решение сис-мы, то и строка -также реш этой сис-мы.2)если строки и -решсис-мы, то при люб их линейная комбинация – также реш этой комбинации.

Система линейно независимых решений назыв-ся фундаментальной, если кажд решение сис-мы яв-сялин комбинацией решений .

Т-ма:если рангr м-цыкоэф-тов при переменных сис-мы линоднородн уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундамент сис-ма решений сис-мы состоит из n – rрешений. Поэтому общее решсис-мы линоднороднуравн им вид: .

Общее решение сис-мы mлинур с n переменными равно сумме общего решсоответ-щей ей сис-мы однор-ныхлинур и произв-го частного решения этой сис-мы.