Билет 4.Скалярное произведениевекторов, свойства и применение

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и будем обозначать как .Тогда , где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению .

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на на правление вектора или произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора .

Это определение эквивалентно первому.

Скалярным произведением двух в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координатвекторов и .

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов и справедливы следующие свойства скалярного произведения:

Свойство коммутативности скалярного произведения ;
Свойство дистрибутивности или ;
Сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число;
Скалярный квадрат вектора всегда неотрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Билет 5. Уравнение прямой: общее, параметрическое, через 2 точки

Прямая (прямаялиния) – это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Если прямая проходит через две точкиA(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), такие чтоx₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂ и z₁ ≠ z₂то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x -x₁	=	y -y₁	=	z -z₁
x₂-x₁	=	y₂-y₁	=	z₂-z₁

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x₀
	y = m t + y₀
	z = n t + z₀

где (x₀, y₀, z₀) – координаты точки лежащей на прямой, {l; m; n} – координаты направляющего вектора прямой.

Если прямая проходит через две точкиA(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), такие чтоx₁ ≠ x₂ и y₁ ≠ y₂то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x -x₁	=	y -y₁
x₂-x₁	=	y₂-y₁

Билет 8.Выпуклые множества и функции. Множество -- выпуклое, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка, соединяющего в пространстве точку с точкой .Заметим, что отрезок, состоящий из точек ,можно параметризовать следующим образом: Тогда при будет получаться точка , при -- точка , а при -- промежуточные точки отрезка, так что обозначения точек отрезка как будут согласованы с обозначениями его концов.