5. Приближенное решение д.У. 1ого пор. Методом Эйлера ,графическая интерпретация

Пусть требуется решить ДУ y‘=f(x:y), удовлетворяющее начальному условию

Y(x0)=y0; на отрезке [x0;b]. Разобьём длинный отрезок на n равных частей. По методу Эйлера произв y' заменяем:

y'=Δy/Δx= f(x;y)

=> на 1-м отр [x0;x] искомое решение приближённо представляется ф-лой:

Δy0/Δx0=f(x0;y0) и,

Y=y0+(x-x0)·f(x0;y0)

При x=xi получим :

Yi+1 = yi+h·f(xi;yi)

6.Нахождение частного решения д.У с пом. Рядов

7Однородные Д.У. 1 ого порядка Решение однородных уравнений.

О: Уравнение (1) называется однородным, если f(x,y) будет представлена в виде f(x,y)=φ(yx).

y=U(x)·x. Переменную х представляют в виде произведения некоторой неизвестной функции U, зависящей от х, умноженной на переменную

8.Линейные Д.У. : Уравнение вида  y'+p(x)y=f(x),  где р(х) и f(x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функ­ция у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

Если f (х)=0, то уравнение (5) называется линейным однород­ным уравнением. Если f(х)≠0, то уравнение (5) называется ли­нейным неоднородным уравнением.

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

9Правила расчета по формулам (с приближенными данными) оценка погрешности.

10.Д.У. Теплопроводности стены здания

Наиболее просто изучать механизм теплопроводности в стационарном режиме, при котором температура в любой точке не изменяется во времени. В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности(уравнениеФурье)имеетвид:                            (1)

Если стена состоит из плотно прижатых друг к другу слоев, у которых длина и ширина бесконечно велики по сравнению с толщиной d (рис. 1), то температура изменяется в направлении х, перпендикулярном к плоскости стенки. В этом случае уравнение Фурье (1) принимает вид:                                              (2) Если толщины слоев d₁, d₂, …, d_n, а теплопроводности соответственно l₁, l₂, …, l_n, то после интегрирования уравнения (2) получим, что                   (3) где   dQ - количество теплоты, передаваемое при теплопроводности за время  dt  через площадку dS слоя. В каждом слое при  l=const температура изменяется линейно, для многослойной стенки график  T=f(x) представляет ломаную линию (рис. 1). В разработке этой лабораторной работы по строительной теплофизике основная трудность - измерение температуры. Проблема решена созданием прибора для измерения температуры с помощью термопар.

11Решение Д.У. типа F(x,y’y’’)=0

^{2. Рассмотрим уравнение вида ,т.е. уравнение, в запись которого явно не входит искомая функция. Такое уравнение можно решить, введя новую неизвестную функцию . Сделав замену переменной и учитывая, что  получим уравнение первого порядка, т.е. понизим порядок исходного уравнения на одну единицу. Если удастся отыскать общее решение полученного уравнения первого порядка, т.е. , то для нахождения общего решения исходного уравнения необходимо решить следующее дифференциальное уравнение первого порядка .Это уравнение относится к первому типу и решается однократным интегрированием.}