1) Вспомни, какие задачи ты решал на состав чисел?

2) Как можно по-разному разложить 3 яблока на две тарелки? и др.

На 3-ем этапе для лучшего осмысления содер-жания задачи можно предложить п р е о б р а з у ю щ и е приёмы ПДУ. Сделать : а) рисунок, б) графический рисунок, в) краткую запись; г) чертёж задачи:

Ц = 6

ЛЧ - ? ПЧ - ?

На 4-ом этапе для поиска идеи, способа, принципа расстановки кукол на правой и левой частях полки можно предложить э в р и с т и ч е с к и е приёмы ПДУ :

1) Взять две группы предметов и пронаблюдать, как изменяется количество предметов в них при перемещении предметов из одной группы в другую : а) по одному, б) по двум предметам и т.Д.

2) Рассмотреть разные расстановки в две группы трёх предметов и др.

В результате решающие приходят к выводу, что для учёта всех случаев лучше все куклы поместить на каж-дую часть полки, а затем по одной переставлять на другую часть.

На 5-ом этапе модели осуществляется реализация идеи, принципа способа расстановки кукол на полке, составляется перечень действий по перестановке кукол из одной части полки на другую по одной. Предлагаются

у п р е ж д а ю щ и е приёмы ПДУ. Одним из них является прикидка результата. Так как в числе 6 содержится шесть единиц, а куклы из одной части полки на другую переставляются по одной, то разных случаев расстановки должно быть не менее 6.

На 6-ом этапе осуществляется реализация плана решения, рассматриваются все возможные случаи рас-становки кукол на полке и предлагаются

п о о п е р а ц и о н н ы е приёмы ПДУ. В частности, в каждом сочетании в сумме должно быть точно 6 кукол. Осуществляя принцип составления пар, получим ком-бинации, записанные в скобках: (6;0), (5;1), (4;2); (3;3), (2;4), (1;5), (0;6), (1; 5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1), (6;0).

На 7-ом этапе получаем окончательный результат. Исключаем из перечисленных 13 пар 6 одина-ковых: (6;0), (5;1), (4;2), (3;3), (2;4), (1;5). Получаем 7 всевозможных пар, которые записаны в начале ряда. В каждой паре, действительно, в сумме содержится 6 эле-ментов. На этом этапе применяются р е з у л ь т а т и- в н ы е приёмы ПДУ, связанные с установлением полного соответствия конечного результата условию задачи.

На 8-ом этапе проводится оценка как хода, так и ре-зультата решения задачи, применяются о ц е н о ч н ы е приёмы ПДУ. Обращается внимание на 6 повторений пар, на то, что имеются пары с одинаковым числом элементов, но на разных местах: (6;0) и (0;6), (5;1) и (1;5), (4;2) и (2;4).Устанавливается, как можно записать полученные 7 пар в виде сумм: 6 + 0 = 6 и 0 +6 = 6 , 5+1 = 6 и 1 + 5 = 6, 4 + 2 = 6 и 2 + 4 = 6, а также 3 + 3 = 6.

Аналогичным способом, исходя из разных комбинаций кукол на частях полки, можно полу-чить разности: 6-0 = 6, 6–1 =5, 6–2 = 4, 6–3 = 3,

6–4 = 2, 6 –5 = 1, 6 – 6 = 0. В дальнейшем получен--ные результаты можно обобщить, исходя из моде-ли задачи в виде чер-тежа и буквенных обозначе-ний целого (Ц ) и частей полки: левой (ЛЧ) и пра-вой (ПЧ). Получим буквенные модели- равенства: ЛЧ + ПЧ = Ц (1),ПЧ + ЛЧ = Ц (2), Ц–ПЧ =ЛЧ(3) и Ц – ЛЧ = ПЧ (4). Они представляют общие способы соотношения целого и его частей. При этом целое (Ц) представляет сумму и уменьша-емое, а правая (ПЧ) и левая (ЛЧ) – слагаемые, вычитаемое и разность. На основе выделенных равенств можно решать все простые задачи на на-хождение неизвестного слагаемого (ЛЧ) по сумме (Ц) и известному слагаемому (ПЧ), на нахождение неизвестных уменьшаемого (Ц), вычитаемого и разности (ЛЧ или ПЧ) по известным двум другим компонентам действия вычитания. Например: “В саду росло 9 груш и несколь-ко слив, всего 15 дере-вьев. Сколько слив росло в саду?” Неизвестно число слив, обозначим его Х. Слово «всего» подсказывет, что 15-сумма 9 и Х (модель 1): 9+Х=15 По модели (3) находим: Х=15-9, Х=6. В этом случае в результате решения задачи открывается общий способ решения всех простых задач на взаимо-связь арифметических действий сложения и вычи-тания.Задача в этом случае называется

у ч е б н о й, а открытый способ её решения можно применять для решения целого класса аналогич-ных задач..

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

В начальных классах решаются задачи на нахождение дроби от числа и числа по его доле.. Например, рассмотрим залачу: При сушке клюква потеряла 91/100 часть своей массы. Сколько воды содержится в 10 кг сырой клюквы ?

1/100 от 10 000 г составит 10 000:100=100 (г), а 91/100 в 91 раза больше: 100*91=9100 (г).

Так как 1% составляет 1/100 часть величи-ны, в сырой клюкве воды 91%,

или 9 кг 100 г. Сушёной клюквы стало

10 кг-9 кг100 г = 900 г.

Сушёная клюква составляет 100%--91%= 9%,1% составит 900 :9 -100 (г), а 9% в 9 раз больше или 900 г. Вода в клюкве 91% составит 100*91-9100 (г). Вся же сырая клю-ква составляет 100%, или 100*100 = 10 (кг).

На практике приходится решать более сло-жные задачи, связанные с денежными расчётами: срочные уплаты, взносы и др.

Предлагаются формулы решения таких задач на денежные расчёты в процентах.

Задача 1: В какую сумму обратится в течение t лет вклад а рублей, если сбергкасса ежегодно начисляет р сложных процентов?

Решение: Каждый рубль вклада по истечении года приносит дохода р/100 руб., следовательно, в конце года каждый вкладчик получит а*(1+р/100) руб. В течение второго года сумма возрастёт до

а*(1+р/100)*(1+р/100)=а*(1+р/100)² руб. . По происшествии t лет вкладчик получит сумму по сложным процентам в а*(1+р/100) ^tруб

Задача 2. По скольку рублей надо платить ежегодно, чтобы погасить ссуду А рублей в течение п лет при р сложных процентах?

Обозначим срочную уплату, вносимую в конце каждого года через х рублей; нара-щенный в конце каждого года через r, т.е. 1+р/100=r: тогда долг А руб. через год обра-тится в Аr руб., после уплаты долга будет равен(Аr –х) руб, а к концу второго года

(Аr –х) руб. обратятся в сумму (Аr –х)*r руб. и Аr²- r*х руб.. После уплаты второго взноса долг равен (Аr²- r*х-х) руб. .Продолжая эти рассуждения дальше, най-дём, что долг в конце третьего года после очередной уплаты взносов равен А* r ³- r ²*х- r *х – х.

В коннце п года

А* r^п- r^п-1* х – r^{п- 2}*х-…- r ²*х- r *х – х. Вынеся х за скобки

А* r^п=х*( r^п-1 + r^{п- 2}*+….+ r ²+ r ) . Выражение в скобках представляет собой сумму п членов геометрической прогрессии А=х(1- r^п)/(1- r).

Задача 3. В начале каждого года вкладчики обычно вносят в банк по а рублей. Какая сумма окажется у него на сбергкнижке через п лет, если начисление процентных денег ведётся из расчёта р сложных процентов?

После 1-го года сумма будет аr.

После 2-го года сумма ….аr ²+аr.

После 3-го года сумма… аr ³ +аr ²+ аr

Послн п-го года

а r^п+а r^п-1 +аr^{п- 2}+ …+ + аr²+ аr.

Вынеся аr*(r^{п- 2}+r^п-1 +…+r²+r+1), получим итоговую сумму через п лет

А=аr (r^{п- 1}+ r^п + … +r+ 1). Выражение в скобках представляет собой сумму п членов геометрической прогрессии

А= аr*(1- r^п):(1- r). Другие примеры будут рассмотрены на практических занятиях.

ЗАДАЧИ НА СМЕСИ

Выделяют задачи трёх видов: