8.3.3. Коди боуза - чоудхурі - хоквінгема

Недвійкові коди БЧХ є різновидом циклічних кодів. Як і двійкові, недвійкові коди БЧХ будуються за допомогою твір­них поліномів Р(х), які визначаються за заданою мінімальною кодовою відстанню d_min і довжиною п кодової комбінації.

Одним із найпоширеніших підкласів недвійкових кодів БЧХ є коди, для побудови яких застосовуються поле елементів GF(q) і розширене поле локаторів GF(q^h), де h > 0 — ціле число.

Так, якщо h > 0 і п ділиться без остачі на q^h - 1, то в розшире­ному полі GF(q^h) завжди знайдеться елемент (3 є GF{q^h) поряд­ку п (за умови, що Р" = 1). У цьому разі всі елементи (3', де / = 1, п,

будуть різними і лінійно незалежними. Така властивість дає змо­гу з q^h елементів відібрати тільки п елементів для задания лока-

горів кодового блока завдовжки п. Усі ці локатори є елемента­ми розширеного поля GF{q^h) і становлять основу для побудови перевірної матриці Н коду (першого її рядка), а також твірно­го полінома.

Твірний поліном коду БЧХ може задаватися з урахуванням того, що в.ибір перших г степенів елемента (3 визначається зна­ченням Р²⁷, де у = 0,1,2,3,... (тобто Р¹, Р², р⁴, Р⁸,...), яке викорис­товується як спектр твірних коренів. При цьому твірний полі­ном має вигляд

j=r-\

Р(х) = П (*"Р^2у)

й обов'язково містить коефіцієнти поля локаторів GF{q^h). Твірний поліном можна задавати також виразом

1=1

де Р^; набуває значень Р¹, Р², р³, Р⁴,... .

Той чи інший спосіб задания твірного полінома залежить від вибраного алгоритму декодування.

Послідовність локаторів $¹(і = 1₉п) коду БЧХ за деяких умов

відзначається особливою властивістю. Так, якщо розташувати локатори р' у вигляді кільця, то ця структура буде кільцем кла­сів остач з теорії чисел і полінома. Тоді будь-якому елементу даної структури обов'язково відповідатиме один протилежний елемент (їх добуток дорівнює 1), а сума цих елементів є елемен­том розширеного поля GF(q^h), тобто належить полю GF(q).

Вибравши першу половину твірних коренів довільно, а дру­гу — як елементи поля локаторів, що відповідають вибраним еле­ментам, дістанемо твірний поліном Р(х) у вигляді добутку ліній­них множників (х - P^v), де P^v — всі вибрані твірні корені коду.

Характерна властивість цього методу побудови твірного полінома полягає в тому, що такий поліном завжди виходить «самодвоїстим» і його коефіцієнти є числами поля GF(q^h), тоб­то елементами поля GF(q). Остання обставина дає змогу при незначних основах q-коду будувати довгі (за п) коди БЧХ для виявлення помилок. При цьому як кодування, так і обчислення синдрому виконується тільки в числовому полі GF(q), що знач­но простіше, ніж у розширеному полі GF(q^h).

При побудові кодів БЧХ, ґрунтуючись на цьому методі, завж­ди забезпечується мінімально досяжна для вказаного класу кодів надмірність (r = 2v_Bn), тоді як за методом [32] надмірність коду визначається виразом r = 2v_Bn + 1.

196

197

Таким чином, викладений метод побудови твірного поліно­ма Р(х) дає змогу в блоці тієї самої довжини п при тій самій кількості v_Bn дістати на один надмірний елемент менше. При цьому швидкість коду R = 1 - гіп = 1 - 2v_Bn/«, а його надмір­ність — Л_над = 2у_вп/и. Код дає змогу виявити 2v_B і виправити v_Bn помилок, тому що мінімальна кодова відстань d_m{n = 2v_Bn + 1.