4.1. Квантування сигналів

При передачі повідомлень за допомогою неперервних сигналів стикаються з труднощами, пов'язаними з виникненням апаратур­них похибок, а також похибок від нестабільності параметрів ліній і каналів зв'язку та ін. В той же час передача неперервних сигна­лів з використанням дискретних значень їх дає змогу усунути ці похибки повною регенерацією імпульсів у проміжних пунктах і на приймальному боці системи передачі. Тому при передачі не­перервних сигналів їх, як правило, перетворюють на дискретні. Крім зазначеного вище, дискретна форма подання сигналів дає також значні переваги при зберіганні та обробленні інформації.

Процес перетворення неперервних сигналів на дискретні, який називається квантуванням, має кілька різновидів. При цьому розрізняють: дискретизацію (квантування за часом), кван­тування (квантування за рівнем) і квантизацію (квантування за часом і рівнем, або комбіноване квантування).

Дискретизація. Для того щоб краще зрозуміти, як викону­ється дискретизація неперервних сигналів, розглянемо теоре­му відліків, яку сформулював В. О. Котельников. Це основна теорема, що доводить можливість передачі неперервних сигна­лів за допомогою дискретних.

Теорема стверджує: якщо неперервна в часі функція має обме­жений частотний спектр, який не містить складових з часто-

60

т ами, що перевищують F_m, то вона повністю визначається су­купністю своїх миттєвих значень (дискрет), які відлічуються через інтервали часу А/ = (\/2)F_m, де F_m —максимальна частота спек-

т

тра неперервного сигналу.

Дискрети ще визначаються відліками (визначальними орди- ^Рис* ^4Л

натами), а моменти відліку — тактовими точками. Інтервал між відліками (дискретами) А/ називається інтервалом (або кро­ком) дискретизації (кроком квантування за часом). Доведення теореми наведено в [31, 38].

Таким чином, якщо є потреба передачі неперервного сигналу з обмеженим спектром, то досить передати його окремі дис­кретні значення, відлічені через проміжки часу А/ < FJ2 (рис. 4.1). Чим менші інтервали Аг, тим точніше буде передана функція s(t). Тривалість т_д дискрет теоретично може бути дуже малою, але практично вона вибирається з урахуванням шири­ни смуги пропускання А/каналу зв'язку, оскільки А/= &_д/т_д, де Іс_Д — стала величина, близька до 1.

Відповідно до теореми відліків неперервна детермінована функція часу s(t), що має обмежений спектр, може бути подана рядом [28, 31]

(4.1)

s(t)= £ s(kAt) -1,0,+1,...

sinco_w(r-/:A/)

(O_m(t-kAt) '

де k - .. co_m = 2nF,

відліки миттєвих значень функції s(t); максимальна частота спектра неперервного сигналу. З (4.1) випливає, що неперервна функція з обмеженим спект­ром може бути подана у вигляді суми нескінченного числа чле­нів, кожний з яких є добутком функції відліку виду 5^irLZ і кое-

У фіцієнта s(kAt), який визначає значення функції s(t) в точках відліку. Графічно функцію відліків зображено на рис. 4.2, де т = t - kAt. Максимального значення, що дорівнює одиниці, ця функція досягає в момент часу / = kAt, а в моменти часу t = (k + + і)At, де і = 1,2,3,...,<*>, вона дорівнює нулю.

sin ш т • • •

Функція виду ^т є не що інше, як реакція ідеального

фільтра нижніх частот з граничною частотою а)_ш на дельта-функцію. Якщо через такий фільтр пропустити дискретизова-ний сигнал з частотою дискретизації/_д = 2F_m = (о_т/тг, то підсу-

61

sin-b>nX- і мовуючи сигнали на виході фільт-

° ^^ Л\ ра, можна дістати неперервний

первинний сигнал s(t).

Рис. 4.2

Теорема відліків визначає тео­ретичний підхід до перетворення неперервних функцій на дискрет­ні. Так, для точного відтворення неперервної первинної функції s(t) необхідно підсумувати реакції фільтра на вхідні імпульси в часі від -©о до +оо. Проте на практиці використовуються обмежені в часі сигнали, що, як наслідок, мають нескінченно широкий спектр. Останній чинник суперечить головній умові теореми відліків.

Тому з деякими втратами точності відтворення, які допуска­ються на практиці при дискретизації, реальний спектр сигналу, що простягається від нуля до нескінченності, умовно обмежу­ють діапазоном частот, в якому зосереджено основну частину енергії спектра сигналу з максимальною частотою со_т. При цьо­му енергія частини спектра сигналу, що залишилася поза обме­женим частотним діапазоном, визначає похибку при відтворен­ні форми первинної функції s(t). Для зменшення цієї похибки в разі високих вимог до точності відтворення форми первинно­го повідомлення частоту дискретизації/_д вибирають значно більшою, ніж 2F_m.

Квантування за рівнем. При квантуванні за рівнем неперерв­на функція s(t) замінюється множиною дискретних значень (дис­крет) шкали рівнів, які виникають у моменти часу, коли зна­чення неперервного сигналу досягає певного рівня, що відда­лений від попереднього на певну величину As, яка називається інтервалом (кроком) квантування за рівнем (рис. 4.3).

f >г

<

\

/ГО

і ^-^

\

/

\J

у

Рис. 4.3

62

Рис. 4.4

Таким чином, при квантуванні за рівнем частота проходжен­ня дискретних сигналів визначається крутістю функції неперерв­ного сигналу s(t) та інтервалом квантування As, а кількість дозволених рівнів квантування т — максимальним рівнем сиг-

налу W^max' Апах'Лт

^max

_х) та інтервалом квантування As, тобто

Розрізняють рівномірне (As - const) і нерівномірне (As Ф const) квантування за рівнем. На практиці найпоширенішим є рівно­мірне (лінійне) квантування (див. рис. 4.3) завдяки більш про­стій його технічній реалізації.

При неоднаковій імовірності розподілу значень функції s(t) за шкалою рівнів ефективніше застосовувати нерівномірне квантування, оскільки його основною метою є зменшення усе­редненої за параметром дисперсії похибки квантування. При такому квантуванні значення неперервної функції s(t), які ма­ють велику ймовірність виникнення, передаються з меншою по­хибкою квантування, а менш імовірні — з більшою.

Для нерівномірного квантування можна застосовувати різні принципи побудови шкали рівнів. Так, на рис. 4.4 показано перетворення неперервного сигналу s(t) з логарифмічною шка­лою квантування за рівнем, де малі значення сигналу s(t) пере­творюються на дискретні з меншою похибкою, а великі сплес­ки, що мають малу ймовірність, — з більшою похибкою.

Квантизація. При квантизації (комбінованому квантуванні, тобто квантуванні за часом і рівнем) неперервна функція s(t) квантується за часом і рівнем, тобто замінюється множиною дискретних значень (дискрет) шкали рівнів, які виникають у моменти часу, що відстоять один від одного на інтервал (крок) дискретизації At, причому значення дискрет визначається най­ближчим до значення неперервної функції s(t) рівнем кванту­вання в момент відліку (рис. 4.5, а).

63

5 і

чч

J

Ю

6

^К

5 k 3

зі і

"~3^

2

At

л

і 0

f

6*6

4~> -

уТ~"Ч. ^-f-^

*"X

7

T^

Рис. 4.5

Квантизований сигнал не може бути відтворений на приймаль­ному боці повною мірою навіть за відсутності завад. Це поясню­ється тим, що під час квантизації вносяться спотворення, усу­нути які неможливо. Ці спотворення називаються шумом кван­тування, а визначаються вони різницею між значеннями кван-тованих дискретних сигналів s'(t) та функцією неперервного сигналу s(t) у відповідних точках відліку (тактових точках). Похибка (або шум) квантування (рис. 4.5, б) приблизно оціню­ється потужністю шуму квантування

де As — інтервал квантування за рівнем.

Для зниження а_кв необхідно зменшувати інтервал кван­тування As, але при цьому знижується завадостійкість переда­чі, оскільки під впливом завад рівень сумарного сигналу (сиг­нал + завада) може опинитися ближче до іншого рівня кванту­вання, ніж до рівня, що передається. Тому вибір As залежить як від потрібної точності відтворення функції s(t) на приймально­му боці, так і від рівня завад у каналі зв'язку.

При квантизації, як і при квантуванні за рівнем, також вико­ристовують нерівномірне квантування, при якому зі збільшенням номера амплітудної градації зростає також інтервал квантуван­ня за рівнем. Це дає змогу при певній похибці (шумі) квантуван­ня суттєво зменшити кількість рівнів квантування, необхідних для дискретного подання неперервної функції з заданою точністю.

64

Квантизація широко застосовується в системах телевимірю­вання. До недоліків таких систем можна віднести складність декодування квантизованих сигналів на приймальному боці. Тому квантизація частіше використовується як проміжний етап при імпульсно-кодовій модуляції [7, 8], коли замість дискрет у канал зв'язку надсилаються кодові комбінації, яким однознач­но відповідають ці дискрети. Це значно поліпшує завадостій­кість систем передачі, але потребує розширення частотної смуги пропускання каналу при збереженні первинної швидкості пе­редачі повідомлень.