8.1.5. Код файра

Коди БЧХ розраховані на виправлення кількох помилок, які не обов'язково знаходяться поруч; тому вони потребують знач­ної кількості перевірних елементів. Двійковий код Файра при­значений для виправлення поодиноких пачок помилок, для чого він потребує значно меншої кількості перевірних елементів по­рівняно з кодами БЧХ.

Під пачкою (пакетом) помилок розуміють не тільки групу помилок, розташованих поруч, а й групу або кілька спотворе­них і неспотворених елементів, які знаходяться між двома спо­твореними елементами. В останньому випадку до пачки поми­лок, крім двох крайніх спотворених елементів пачки, належать ще спотворені та неспотворені елементи, розташовані між ними, тобто в середині пачки.

Твірний поліном коду Файра [12, 25] визначається виразом

Р_ф(х) = Р(х)(х^с+\), (8.34)

_де д_х) _ незвідний поліном степеня /, що належить А; с — про­сте число, яке не повинно ділитися на h без остачі.

Поліном Р(х) має деякий степінь А, якщо h — найменше до­датне число таке, що двочлен х^н + 1 ділиться на Р(х) без остачі.

185

Для будь-якого / існує принаймні один незвідний поліном Р(х) степеня /, який належить числу

А = 2'-1. (8.35)

Незвідний поліном Р(х) вибирається з табл. 8.5 так, щоб ви­конувалась умова (8.35), причому / > Z?, де b = v_Bn — довжина пачки помилок. Так, якщо Р{х) = х³ + х² + 1 (/=3), то h = 2^і- 1 = = 7, а число с може мати значення, які не діляться на 7, тобто 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22 тощо.

Довжина коду Файра визначається виразом

/і = НСК(с,А), (8.36)

тобто є НСК чисел с та А, тому що тільки в цьому разі двочлен х^п + 1 буде ділитися на поліном Р_ф(х) без остачі.

Кількість перевірних елементів цього коду визначається так:

г = с + 1, (8.37)

а інформаційних — так:

к = п-с-1. (8.38)

Якщо скористатися методом утворення вкорочених цикліч­них кодів, викладеним вище, то можна дістати код Файра мен­шої довжини з тією самою кількістю перевірних елементів.

Код Файра виправляє будь-яку поодиноку пачку помилок завдовжки b або менше й одночасно виявляє будь-яку пачку помилок завдовжки В > b або менше, якщо c>b + В- І il>b.

Якщо користуватися цим кодом тільки для виявлення поми­лок, то можна виявити будь-яку комбінацію з двох пачок по­милок, довжина найменшої з яких не перевищує /, а сума дов­жин обох пачок менша, ніж с + 1. Можна також виявити будь-яку поодиноку пачку помилок з довжиною, не більшою від г = = с + /, де г — кількість перевірних елементів.

Так, згідно з [12], якщо твірний поліном коду Файра Р_ф(х) = = (х⁴ + х + 1)(х⁷ + 1) = х^и + X^s + х¹ + х⁴ + х + 1, то степінь незвідного полінома Р(х) становить / = 4, а с = 7. Значення А, я, г і к знаходимо за (8.35)-(8.38): h = 2⁴- 1 = 15; п = НСК (7,15) = = 7-15 = 105; г = 4 +7= 11; к = 105 - 7-4 = 94. Цей код може бути використаний, наприклад, для виправлення пачки поми­лок завдовжки до b = 4 та виявлення будь-якої пачки помилок завдовжки b > 4 або для виправлення пачки помилок завдовжки b < 2 та виявлення пачок помилок завдовжки b < 6. Якщо засто­сувати його тільки для виявлення помилок, то ним можна ви­явити будь-яку поодиноку пачку помилок завдовжки b <

186

< (4 + 7) і будь-яку комбінацію з двох пачок помилок, довжина найменшої з яких / < 4, а загальна сума довжин їх не перевищує с+1=8.

Порівняння коду Файра з аналогічним кодом БЧХ за здат­ністю виправляти помилки буде не на користь останнього. Дійс­но, кількість перевірних елементів коду БЧХ, що виправляє чотири поодинокі помилки і має довжину п, близьку до довжи­ни коду Файра, становитиме г = 28 (див. табл. 8.7) при загальній довжині п = 127 і кількості його інформаційних елементів к = = 99 порівняно з г = 11 та к = 94 коду Файра. Отже, надмірність коду БЧХ СК_над = 28/127 = 0,22) буде значно вищою, ніж надмір­ність коду Файра СЯ_над = 11/105 = 0,1). З цього випливає, що виправити чотири помилки, які знаходяться в одному місці, набагато простіше, ніж ті самі чотири помилки, випадково роз­поділені по всій довжині комбінації.

Останнє зумовлює використання коду Файра при передачі інформації по каналах з великою ймовірністю виникнення па­чок помилок.