8.1.4. Коди боуза - чоудхурі - хоквінгема

Ці коди є різновидом циклічних кодів з кодовою відстанню d^_m > 5. Вони дають змогу виявляти та виправляти будь-яку кількість помилок. При кодуванні задаються кількістю поми­лок, яку слід виправити, або мінімальною кодовою відстанню та загальною кількістю п елементів у кодовій комбінації. Кіль­кість інформаційних к і перевірних г елементів визначають при побудові коду Боуза — Чоудхурі — Хоквінгема (БЧХ). Роз­глянемо деякі правила цієї побудови.

Довжину п комбінації кодів БЧХ можна визначити так:

n = 2^h-\ або n = (2^b-l)Ig₉ (8.31)

де h > 0 — ціле число; g — непарне додатне число, при діленні на яке п стає цілим непарним числом. Таким чином, довжина п може мати тільки непарну кількість елементів.

Керуючись (8.31), установлюємо, що п може дорівнювати З, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023 розрядам і т.д.

Так, розкладаючи 2^h~^x на співмножники, знаходимо такі зна­чення nig:

1 = 2³ - 1 = 7; 63 = 2⁶ - 1 = 7-3-3 = 21 -3; 511 = 2⁹ - 1 = 73-7; 15 = 2⁴-1 =5-3; 127 = 2⁷ - 1 = 127; 1023 = 2¹⁰- 1 =31-11-3; Зі = 2⁵ - 1 = 31; 255 = 2⁸ - 1 = 17-5-3; 2047 = 2¹¹ - 1 = 89- 23.

Звідси випливає, що при h = 6 довжина п кодової комбінації може дорівнювати не тільки 63, а й 21 (при g = 3).

Кількість перевірних елементів коду визначається виразом

_r<Mll) ₌ [i_og2(n+i₎]^i, (8.32)

а кількість інформаційних елементів — виразом

_k>fph-iyWdl абок = п-г. (8.33)

Твірний поліном коду БЧХ є найменшим спільним кратним (НСК) мінімальних поліномів М₍(х), де / = 1, 3, 5,..., d_min -2 — порядок полінома Р(х) = НСК [М\(х)М₃(х).. М_d_ ₂(х)]. Отже, кількість L мінімальних поліномів визначається кількістю по­милок v_Bn, які виправляються кодом: L = v_Bn.

Найбільше значення степеня х мінімального полінома є най­меншим цілим числом, при якому 2^і- 1 ділиться на п або ng без остачі, тобто п - 2^і - 1 або ng-2^l-\. Звідси випливає, що / = h.

У табл. 8.6 наведено деякі мінімальні поліноми кодів БЧХ.

Степінь b твірного полінома залежить від НСК і не переви­щує добуток /v_Bn або IL тому, що L = v_Bn. Так, для коду БЧХ завдовжки п - 15, що виправляє v_Bn = 2 помилки, кількість мі­німальних поліномів L = 2, а найбільший степінь мінімального полінома / залежить від довжини п коду (п = 2^і - 1), тобто / = 4. При цьому твірний поліном Р^ь(х), де b = IL = 4 • 2 = 8, визнача­ється виразом

Р\х) = НСК [М_х\х)М_ъ\х)1

180

181

^СБЧХ(15,7) "

Таблиця 8.6

Номер мінімаль­ного полінома	Мінімальні поліноми різного степеня /
	2	3	4	5
А/,(х)	Xі + X + 1	Xі + X + 1	х4 + х + 1	X5 + X2 + 1
\Щх)		X3 + X2 + 1	х4 + х3 + х2 + х + 1	X5 + X4 + X3 + X2 + 1
Шх)			X2 + X + 1	х5 + х4 + х2 + х + 1 1
Шх)			X4 + X3 + 1	х5 + х3 + х2 + х + 1
Шх)				X5 + X4 + X2 + X + 1 1
Шп(х)				X5 + X4 + X3 + X + 1
\Ми(х)

формаційних елементів А: = w - г = 15—8 = 7. Маємо (15, 7)-код БЧХ з v_Bn = 2.

За необхідності твірну матрицю коду БЧХ можна побудува­ти за правилами побудови такої матриці для циклічного коду. Так, для прикладу, що розглядається, за аналогією з (8.25) і (8.26) твірна матриця коду БЧХ матиме вигляд

1	1	1	0	1	0	0	0
0	1	1	1	0	1	0	0
0	0	1	1	1	0	1	0
0	0	0	1	1	1	0	1
1	1	1	0	0	1	1	0
0	1	1	1	0	0	1	1

10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0

0 000010

0000001 11010001

Закінчення табл. 8.6

Номер мінімаль­ного полінома		Мінімальні поліноми різного степеня /
	6	7	8	9
Л/Дх)	X6 + X + 1	X7 + X3 + 1	X8 + X4 + X3 + X2 + 1	х9 + х4 + 1 1
М3(х)	X4 + X4 + + X2 + X + 1	X7 + X3 + + X2 + X + 1	X8 + X6 + X5 + + х4 + х2+х+1	X9 + X6 + JC4 + + х3 + 1 1
М5(х)	X6 + X5 + + X2 + X + 1	х7+х4+х3 + + х2+ 1	X8 + X7 + Хб + + X5 + X4 + X + 1	х9 + х8 + х5 + + X4 + 1
Ш7(х)	X6 + X3 + 1	X7 + X6 + Х5+ + X4 + X2 + + Х+ 1	X8 + X6 + X5 + + х3+ 1	X9 + X7 + X4 + + X3 + 1
\ЩХ)	X3 + X2 + 1	X7 + X5 + X4 + + X3 + X2 + + х+ 1	X8 + X7 + X5 + + х4 + х3 + х2+1	х9 + х8 + х4 + + Х+ 1
Мп(х)	X6 + X5 + Х3+ + х2+ 1	X7 + X6 + X4 + + х2+ 1	X8 + X7 + X6 + X5 + + X2 + X + 1	X9 + X5 + х3 + + X2 + 1
М13(х)		X7 + X + 1	X8 + X5 + X3 + + х+ 1	X9 + X6 + X5 + +х4 + х2 + х + 1

який після підстановки значень М(х) набуває вигляду

P^s(x) = (х⁴ + х + 1)(х⁴ + х³ + х² + х + 1) = = х⁸ + X^і + х⁶ + х⁴ + 1 -> 111010001.

Найбільший степінь твірного полінома Р(х) визначає кіль­кість перевірних елементів у комбінації (г = 8), а кількість її ін-

182

Усі подальші процедури кодування виконуються аналогіч­но методикам, викладеним вище для циклічних кодів.

У табл. 8.7 наведено параметри деяких кодів БЧХ завдовж­ки до п = 255. Подані в таблиці параметри визначено згідно з викладеною вище методикою. Для зручності запису твірні по­ліноми Р(х) записано у вісімковій системі числення.

Щоб дістати твірний поліном у звичайному вигляді, тобто в тій формі, яка використовується для побудови кодів БЧХ, кож­ну цифру треба перевести у двійковий трибіт. Наприклад, по­ліном Р(х) = 45 двійковими числами запишеться так: 4 —> 100 і 5 -> 101. Отже, маємо двійкове число 100101, яке можна пода­ти поліномом Р(х) = х⁵ + х¹ + 1.

Як показано вище, коди БЧХ мають непарне значення міні­мальної кодової відстані d_min. Для того щоб збільшити d_min на одиницю, досить домножити твірний поліном коду БЧХ на двочлен (х + 1).

Коди БЧХ характеризують деякі закономірності. По-перше, співвідношення між максимальною кодовою відстанню та чис­лом h може бути подане як

d =2^Л"¹-1.

max

Дійсно, для прикладу, що розглядався вище, при п - 15 (Л = = 4) d = 2⁴"¹ - 1 = 7 (це підтверджується табл. 8.7), а кіль­кість інформаційних розрядів, яка може бути використана при обумовлених значеннях h і d_max, дорівнює (h +1).

По-друге, кількість кодів, що різняться своєю коректуваль­ною здатністю і мають однакову довжину кодової комбінації (п = 2^h - 1), на дві одиниці менша від кількості всіх незвідних поліномів, на які розкладається двочлен _х² ~^{ + \.

183

Таблиця 8.

1 п	к	г	d . mm	Твірний поліном Р{х)
1	4	3	3	13
15	11 7 5	4 8 10	3 5 7	23 721 2467
1 31	26 21 16 11 6	5 10 15 20 25	3 5 7 11 15	45 3551 107657 5423325 313365047
63	57 51 45 39 36 ЗО 24 18	6 12 18 24 27 33 39 45	3 5 7 9 11 13 15 21	103 12471 1701317 166623567 1033500423 1574641656547 17323260404441 ' 1363026512351725
127	120 113 106 99 92 85 78 71 64	7 14 21 28 35 42 49 56 63	3 5 7 9 11 13 15 19 21	211 41567 11554743 " : 3447023271 624730022327 130704476322273 26230002166130115 6255010713253127753 1206534025570773100045
255	247 239 231 223 215 207 199 191 187 179	8 16 24 32 40 48 56 64 68 76	3 5 7 9 11 13 15 17 19 21	435 267543 156720665 75626641375 23157564726421 16176560567636227 7633031270420722341 2663470176115333714567 52755313540001322236351 22624710717340432416300455

Так, для п = 15 дістанемо h = 4 та двочлен (х¹⁵ + 1). Цей дво­член не є найпростішим, тому h = 4 буде старшим степенем не-звідного полінома, на який розкладається двочлен х¹⁵ + 1. Та­ким чином, двочлен х¹⁵ + 1 буде розкладатися на незвідні полі­номи четвертого степеня та на незвідні поліноми тих степенів

184

показники яких є дільниками числа 4, тобто 1 і 2:

_х15 + І = _(х + _1)(х2 + _х + 1) (_Х4 + _х + _1)(х4 _{+ х}3 + _1)(х4 +

+ х³ + х² + х+ 1).

Як випливає з цього розкладання, кількість незвідних полі­номів дорівнює п'яти, а кількість циклічних кодів для п = 15 становить 5 - 2 = 3, що підтверджує табл. 8.7.

Декодування кодів БЧХ (виявлення та виправлення поми­лок) завдовжки п = 15 може виконуватися з використанням методики, викладеної для циклічних кодів з d_min < 5. При декодуванні кодів БЧХ з довжиною комбінацій п > 15 можуть виникнути деякі труднощі, пов'язані з великим обсягом обчис­лень для виявлення та виправлення помилок. У таких випад­ках при к > nil, де fc — кратність зсуву, рекомендується комбі­націю, утворену після Ажратного зсуву і підсумовування з ос­тачею, зсувати не праворуч, а ліворуч на п циклічних кроків.

Кількість помилок, які можуть виправляти коди БЧХ, не обмежена, але зі збільшенням кратності помилки значно зростає складність пристроїв декодування, що призводить до зменшен­ня швидкості передачі інформації.