3.7 Движение частицы в поле "сглаженной" потенциальной ступеньки
Рассмотрим движение микрочастицы в поле
(3.7.1)
В соответствии с
рис. 3.11 (по сравнению с рис. 3.10) это поле
может быть названо "сглаженной"
ступенькой. Заметим, что когда параметр
потенциал (3.7.1) стремится к потенциалу
(3.6.1).
Потенциал (3.7.1)
представляет собой монотонно возрастающую
функцию от значения
при
до
при
,
при этом наиболее существенное нарастание
происходит на отрезке
:
(3.7.2)
По аналогии с предыдущим разделом, можно утверждать, что волновая функция в случае движения частицы слева направо должна иметь следующий асимптотический вид :
(3.7.3)
Здесь
(3.7.4)
Уравнение Шредингера
(3.7.5)
перепишем в виде
(3.7.6)
Введем новую переменную
(3.7.7)
Тогда
(3.7.8)
откуда
(3.7.9)
Для второй производной при этом имеем
(3.7.10)
Вводя обозначения
(3.7.11)
из уравнения
(3.7.6) получаем уравнение для
как функции
(3.7.12)
Перейдем к новой неизвестной функции, в соответствии со следующим выражением:
(3.7.13)
где
(3.7.14)
При этом имеем
(3.7.15)
Подставляя (3.7.13), (3.7.15), с учетом (3.7.14) в (3.7.12), имеем
(3.7.16)
откуда после
сокращения на
следует
(3.7.17)
Первая фигурная скобка здесь может быть записана в виде
(3.7.18)
Вторая фигурная скобка может быть упрощена следующим образом:
(3.7.19)
В итоге уравнение (3.7.17) приводится к уравнению для гипергеометрической функции
(3.7.20)
стандартная форма которого имеет вид (3.4.19)
(3.7.21)
Таким образом, в нашем случае
(3.7.22)
Покажем, что частное решение уравнения (3.7.20)
(3.7.23)
удовлетворяет нужной асимптотике, определяемой соотношениями (3.7.3).
Рассмотрим предел
,
т.е.
.
Тогда, обращаясь к явному виду функции
,
согласно (3.4.21), имеем
(3.7.24)
Здесь необходимо проследить две возможности.
1.
,
– действительное число, большее нуля.
В этом случае выражение (3.7.24) экспоненциально
убывает, как и должно быть при
,
т.к.
(см. (3.7.11)). Итак,
(3.7.25)
(сравните с (3.7.3), (3.7.4)).
2.
,
– чисто мнимое число. Тогда
(3.7.26)
что снова находится в соответствии с (3.7.3), (3.7.4).
Что касается
асимптотики
,
когда
,
,
воспользуемся известной формулой
преобразования гипергеометрической
функции от аргумента
к гипергеометрической функции от
аргумента
:
(3.7.27)
Здесь введена
известная гамма-функция, определенная
для любого комплексного аргумента
(3.7.28)
При учете соотношения
при
получаем
(3.7.29)
что соответствует асимптотике (3.7.3).
Для коэффициента отражения при этом имеем
(3.7.30)
Здесь снова следует различать два случая.
1.
,
– чисто мнимое число,
– действительно и больше нуля. Числитель
и знаменатель под знаком модуля в
(3.7.30) в этом случае представляет собой
комплексно сопряженные величины. Поэтому
(3.7.31)
т.е. имеет место полное отражение. Этот результат вполне аналогичен соответствующему результату предыдущего раздела (3.6.9) .
2.
,
и
– величины чисто мнимые. Теперь лишь
и
комплексно сопряжены друг другу и не
дают вклада в определение коэффициента
отражения
.
Воспользуемся формулой
(3.7.32)
Тогда вместо коэффициента (3.7.30) можно получить
(3.7.33)
Обращаясь к (3.7.14) и (3.7.11), имеем
(3.7.34)
или
(3.7.35)
Далее в (3.7.35) выберем знаки, обеспечивающие правильный предельный переход при (переход, соответствующий результату предыдущего параграфа),
(3.7.36)
Тогда
(3.7.37)
Воспользовавшись формулой
(3.7.38)
получим
(3.7.39)
В пределе
,
т.е. когда потенциал (3.7.1) заменяется
потенциалом (3.6.1), воспользовавшись
разложением
в ряд Тейлора, вместо коэффициента
(3.7.39) получаем
(3.7.40)
что совпадает с соответствующим результатом (3.6.17).
Второе частное решение уравнения (3.7.20) вида (3.7.22), как может быть показано аналогичными рассуждениями, не является решением поставленной задачи.
Таким образом, при
рассмотрении конкретных квантовомеханических
задач в случае, когда
,
ограничиваемся решением стационарного
уравнения Шредингера
,
т.е. поисками координатной волновой
функции, так как временная зависимость
полной волновой функции предопределена
соответствующим значением энергии
При рассмотрении многомерных задач (здесь рассмотрены трехмерные задачи), имеет место вырождение по энергии: симметрийное или истинное вырождение, связанное с соответствующей симметрией задачи; случайное или дополнительное, связанное с конкретным видом поля. Основное (самое низкоэнергетическое) состояние остается при этом не вырожденным.