3.4 Потенциальное поле вида

Рассмотрим одномерное движение частицы в потенциальном поле вида (см.рис.3.8)

(3.4.1)

Стационарное уравнение Шредингера при этом имеет вид

(3.4.2)

Перейдем к новой неизвестной функции

(3.4.3)

где из соображений ограниченности в нуле λ < 0. Тогда, как нетрудно показать,

(3.4.4)

Подставляя производную (3.4.4) и функцию (3.4.3) в уравнение Шредингера и сокращая на , имеем

(3.4.5)

или

(3.4.6)

Учитывая тождество

(3.4.7)

вместо уравнения (3.4.6) можно записать

(3.4.8)

Полагая

(3.4.9)

находим

(3.4.10)

Требуя ограниченности волновой функции, согласно (3.4.3), оставляем лишь нижний знак в (3.4.10), т.е.

(3.4.11)

Принимая также

(3.4.12)

приходим из (3.4.8) к следующему уравнению для неизвестной функции

(3.4.13)

Введем новую переменную

(3.4.14)

Тогда

(3.4.15)

и из (3.4.13) получаем

(3.4.16)

Учитывая (3.4.14) и сокращая на коэффициент , имеем

(3.4.17)

или

(3.4.18)

что является уравнением для гипергеометрической функции.

Сравнивая с общим видом гипергеометрического уравнения

(3.4.19)

принимаем

(3.4.20)

Гипергеометрическая функция, являющаяся решением уравнения (3.4.19) и заданная внутри круга | | < 1, может быть представлена в виде ряда

(3.4.21)

Ясно, что .

Второе независимое решение есть

(3.4.22)

Это решение имеет особенность при = 0, когда .

Итак, мы имеем следующие линейно независимые решения уравнения (3.4.17). Одно из них, отличное от нуля и конечное при (что соответствует в согласии с (3.4.14))

(3.4.23)

Другое —

(3.4.24)

— обращается в нуль при ( ).

Чтобы определить поведение решений на концах интервала нашей задачи, т.е. при , воспользуемся известным соотношением

(3.4.25)

Тогда решения (3.4.23), (3.4.24) могут быть записаны в следующем виде :

(3.4.26)

(3.4.27)

Для того чтобы удовлетворить требованиям ограниченности волновой функции при ( либо ), в соответствии с (3.4.21), в случае (3.4.26) необходимо потребовать, чтобы ряд оборвался на члене с меньшей степенью аргумента, нежели ν + λ, что возможно в двух случаях :

(3.4.28)

Однако по условию задачи волновая функция должна быть не просто ограничена на концах интервала , а обратиться в нуль, так как область движения (конфигурационное пространство), опять же по условию задачи, не распространяется за пределы этого интервала, где волновые функции должны быть тождественным нулем (срабатывает условие непрерывности волновой функции). Но условие при , удовлетворяется лишь при значениях

(3.4.29)

Переписывая (3.4.29) в виде

(3.4.30)

и возводя его в квадрат, с учетом (3.4.11) и (3.4.12) имеем

(3.4.31)

откуда для уровней энергии получаем

(3.4.31)

Аналогично, из двух возможностей обрыва ряда (3.4.21) в случае (3.4.27)

(3.4.32)

лишь при условии

(3.4.32)

или

(3.4.33)

гарантируется обращение волновой функции в нуль на концах интервала задачи. Из (3.4.35) имеем

(3.4.36)

Возводя в квадрат, получаем

(3.4.37)

откуда приходим к квантованию энергии

(3.4.38)

Поскольку в (3.4.32), в соответствии с (3.4.29), (2 + 1) = 1, 3, 5, ... – нечетное число, а в (3.4.38), в соответствии с (3.4.35), 2 = 2, 4, 6, ... – четное число, выражения для определения уровней энергии (3.4.32), (3.4.38) можно объединить:

(3.4.39)

При этом нечетным значениям соответствует волновая функция

(3.4.40)

а четным соответствует

(3.4.41)

В предельном случае задача сводится к задаче о частице в потенциальной яме бесконечной глубины. Величина λ обращается при этом в нуль, а для уровней энергии имеем, как и следовало ожидать,

(3.4.42)

В противоположном случае ( велико) и для низших энергий, когда , получаем

(3.4.43)

или

(3.4.44)

Таким образом, для больших и малых имеем систему уровней энергии гармонического осциллятора.

К этому же результату можно прийти, разлагая потенциальную энергию вблизи точки в ряд Тейлора, ограничиваясь квадратичными членами. Действительно,

(3.4.45)

В итоге, с точностью до обозначений, задача свелась к случаю гармонического осциллятора во внешнем постоянном электрическом поле. Последний член можно устранить выбором потенциальной энергии. Сравнивая с (3.2.96), получим

(3.4.46)

откуда

(3.4.47)

По частоте ω имеем совпадение с выражением (3.4.44). Для уровней энергии, согласно (3.2.98), сдвигая их на значение последнего члена в (3.4.45), получаем

(3.4.48)

что совпадает с энергетическим спектром (3.4.44).