3.5 Прохождение частицы через потенциальный барьер конечной ширины

Рассмотрим одномерное движение частицы в поле

(3.5.1)

которое принято называть потенциальным барьером (рис.3.9).

Уравнение Шредингера для областей I, II, III можно записать в следующем виде

(3.5.2)

При движении частицы в поле такого потенциала могут реализоваться два случая:

1. энергия частицы больше высоты потенциального барьера (E > U₀) и

2. энергия частицы меньше высоты потенциального барьера (E < U₀).

В первом случае, вводя величины

(3.5.3)

приходим к уравнениям

(3.5.4)

совпадающим с уравнениями (3.1.105). Поэтому все результаты, относящиеся к задаче о прохождении частицы над потенциальной ямой конечной глубины (см. (3.1.102)), могут быть перенесены на данный случай. Необходимо лишь учесть различия между параметрами (3.1.104) и (3.5.3). Таким образом, решением задачи будет

(3.5.5)

Связь между коэффициентами , , , , при этом задается выражениями (3.1.111) и (3.1.113). Для коэффициентов отражения и прохождения используем выражения (3.1.118) и (3.1.119).

При k → k₀ (U₀ → 0) коэффициент прохождения D стремится к единице, так как это означает устранение барьера. Но и при наличии барьера имеется такая возможность, когда D → 1. Это, в соответствии с (3.1.119), имеет место при sin 2ka = 0. Тогда

R=0, D=1. (3.5.6)

Для соответствующих значений энергии (резонансные энергии) имеем

(3.5.7)

Заметим также, что при , т.е. когда , D стремится к единице независимо от условия (3.5.7). Это означает, что при очень больших энергиях частица как бы не реагирует на наличие барьера конечной высоты и конечной ширины.

Если E < U₀, вводя величины

(3.5.8)

из (3.5.2) получаем

(3.5.9)

Эти уравнения отличаются от (3.1.105) лишь знаком коэффициента при Ψ_II (второе уравнение). Следовательно, все результаты могут быть получены из соответствующих соотношений задачи (3.1.102) заменой в них

(3.5.10)

Таким образом, решение уравнений (3.5.9) можно записать, используя (3.1.106), в следующем виде :

(3.5.11)

Из (3.1.111), (3.1.113) после замены (3.5.10) получаем

(3.5.12)

(3.5.13)

Наконец, в соответствии с (3.1.118) и (3.1.119) для коэффициентов прохождения и отражения имеем

(3.5.14)

(3.5.15)

После несложных преобразований отсюда можно записать

(3.5.16)

(3.5.17)

Если , т.е. , то с учетом (3.5.8) выражение (3.5.16) можно преобразовать следующим образом:

(3.5.18)

откуда видно, что при , (соответствует переходу к классическому описанию) коэффициент прохождения стремится к нулю. Классически это объясняется тем фактом, что движение с E < U₀ невозможно. Точное выражение для (3.5.16) в связи с поведением , при , позволяет сделать те же заключения.

В данной задаче мы снова встречаемся с чисто квантовым явлением – частица может находиться в классически не дозволенной для движения области (область II, где E < U₀). В самом деле,