3.2 Гармонический осциллятор

В природе встречаются многие физические системы, которые совершают периодические или квазипериодические движения около положения равновесия. В одномерном простейшем случае это малые колебательные движения материальной точки (частицы). Потенциальная энергия таких систем обладает минимумом в точке , соответствующей положению равновесия. Разложив энергию в ряд по степеням отклонения от этой точки, можно записать

(3.2.1)

Рис. 3.6

Поскольку в положении равновесия силы, действующие на частицу, равны нулю, то . Будем отсчитывать энергию от значения и начало координат поместим в точку . Тогда

(3.2.2)

Переопределяя константы, в дальнейшем будем писать

(3.2.3)

где – масса частицы, – величина размерности частоты. В классическом случае это частота собственных (свободных) колебаний около положения равновесия, когда нет воздействия внешних сил. Записанные соотношения относятся к одномерному движению. Их нетрудно обобщить на трехмерный случай.

Положим далее, что вид потенциальной энергии (3.2.3) сохраняется и при больших значениях , как это показано на риc.3.6. (Идеализация реальной системы!) Соответствующая квантовая задача о движении частицы в поле (3.2.3) называется задачей о линейном гармоническом осцилляторе. При классическом рассмотрении частица в таком поле совершает гармонические колебания.

Гамильтониан одномерного гармонического осциллятора имеет вид

, (3.2.4)

не зависит явно от времени, и задача сводится к решению стационарного уравнения Шредингера

(3.2.5)

Перепишем это уравнение несколько иначе

(3.2.6)

Ввиду потенциальных стенок бесконечной ширины и высоты естественно ожидать, что движение будет финитным и энергия проквантуется.

Вводя для удобства новую переменную, согласно

, (3.2.7)

(3.2.8)

(3.2.9)

преобразуем далее уравнение Шредингера к виду

(3.2.10)

причем вследствие положительной определенности энергии .

Рассмотрим асимптотическое поведение функции при больших , когда или . Слагаемым, пропорциональным , в (3.2.10) можно пренебречь:

(3.2.11)

Решение этого уравнения ищем в виде

(3.2.12)

Тогда, подставляя (3.2.12) в уравнение (3.2.11), имеем

(3.2.13)

так как

(3.2.14)

Поскольку рассматривается область , естественно от (3.2.13), пренебрегая вторым слагаемым, перейти к уравнению

, (3.2.15)

откуда

(3.2.16)

Как и следовало ожидать, для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (3.2.11) получены два линейно независимых решения. Общее решение при этом имеет вид

(3.2.17)

Из требования постулата о статистическом смысле волновой функции (требование ограниченности во всем интервале или ) необходимо положить . Что же касается , то, поскольку волновая функция еще не нормирована, можно считать , т.е. для асимптотического поведения волновой функции гармонического осциллятора при больших значениях имеем

(3.2.18)

Волновую функцию с учетом ее поведения на бесконечности ищем теперь в следующей форме

(3.2.19)

Учитывая, что

(3.2.20)

(3.2.21)

из (3.2.10) получаем следующее уравнение для функции

(3.2.22)

Решение этого уравнения ищем в виде

(3.2.23)

Тогда из (3.2.22) имеем

(3.2.24)

или

(3.2.25)

Собирая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем

(3.2.26)

Поскольку (как независимая переменная) в различных степенях линейно независимы, уравнение (3.2.26) может выполняться лишь при равенстве нулю коэффициентов при каждой конкретной степени , т.е.

(3.2.27)

откуда имеем рекуррентное соотношение, связывающее коэффициенты и

. (3.2.28)

Поскольку (3.2.28) связывает коэффициенты с различием в на два, ряд (3.2.23) будет либо только с четными (если минимальный индекс четный), либо с нечетными (если минимальный индекс нечетный) степенями переменной .

Если ряд не ограничен некоторой максимальной степенью, то, поскольку, начиная с , он перестает быть знакопеременным, при он расходится. Действительно, при больших из (3.2.28) имеем

(3.2.29)

С другой стороны

(3.2.30)

т.е. соотношение между коэффициентами в (3.2.29) и (3.2.30) одинаковые, и при , если не оборвать ряда (3.2.23), получаем

(3.2.31)

что противоречит требованию конечности волновой функции. Поэтому необходимо потребовать, чтобы ряд обрывался при некотором значении т.е.

(3.2.32)

В связи с этим из рекуррентного соотношения (3.2.28) в качестве условия обрыва ряда имеем

(3.2.33)

Принимая во внимание обозначение (3.2.10), приходим к квантованию энергии

(3.2.34)

Лишь при этих значениях энергии волновая функция удовлетворяет требованию ограниченности. Таким образом, гармонический осциллятор обладает дискретным спектром эквидистантных (равноудаленных друг от друга) энергетических уровней, т.е.

(3.2.35)

Энергия основного (самого низкоэнергетического) состояния

(3.2.36)

Обратимся теперь к изучению волновых функций гармонического осциллятора. В соответствии с (3.2.19) и учитывая необходимость обрыва ряда, волновая функция задается в виде

(3.2.37)

Суммирование идет либо по четным (с нуля), либо по нечетным (с единицы) степеням . Соответственно обрыв ряда происходит либо при четном, либо при нечетном . Коэффициенты при минимальной или при максимальной степени может быть взят произвольным, остальные коэффициенты определяются соответствующим рекуррентным соотношением (3.2.28). Неопределенный коэффициент с минимальным (или максимальным) значением можно впоследствии использовать при нормировке волновой функции.

Принимая во внимание условие обрыва ряда (3.2.33), рекуррентное соотношение (3.2.28) может быть переписано в виде:

(3.2.38)

(3.2.39)

Полагая коэффициент при максимальной степени равным

(3.2.40)

находим

(3.2.41)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

В результате приходим к тому, что функции , определяемые рядом (3.2.23), входящие в задание волной функции гармонического осциллятора (3.2.37), оказываются известными полиномами Эрмита:

(3.2.42)

Отсюда, в частности, имеем

(3.2.43)

Заметим теперь, что квантование энергии (3.2.34), или обрыв ряда посредством требования (3.2.33) эквивалентны определению собственных чисел в уравнении (3.2.42), которым соответствует ограниченные повсюду решения этого уравнения. В самом деле, уравнения (3.2.42) можно переписать в виде задачи на собственные функции и собственные значения:

(3.2.44)

Для нетривиальных решений, в соответствии с (3.2.33), можно записать

(3.2.45)

А это есть стандартная форма уравнения для полиномов Эрмита.

Покажем, что полином Эрмита можно представить в форме

(3.2.46)

Легко видеть, что выражение (3.2.46) есть полином, старший член которого , что согласуется с (3.2.43). Этот член происходит от -ой степени производной от показателя . В силу известной теоремы о единственности решения достаточно показать, что (3.2.46) является решением уравнения (3.2.45). Для этого заметим, что функция удовлетворяет уравнению

(3.2.47)

Дифференцируя это уравнение раза, получаем

(3.2.48)

или

(3.2.49)

где

. (3.2.50)

Полагая, наконец

(3.2.51)

откуда

(3.2.52)

имеем для уравнение

откуда видим, что подчиняется уравнению, совпадающему с уравнением (3.2.45),

(3.2.53)

Таким образом, формула (3.2.46) доказана.

Волновая функция для гармонического осциллятора (3.2.19) с учетом определения (3.2.42) может быть теперь записана следующим образом:

(3.2.54)

где .

Коэффициент находим из условия нормировки

(3.2.55)

Учитывая (3.2.46) и интегрируя раз по частям, получаем

(3.2.56)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Согласно (3.2.42)

, (3.2.57)

а для известного интеграла Пуассона имеем

(3.2.58)

Объединяя (3.2.55)–( 3.2.58), окончательно получаем

(3.2.59)

откуда

(3.2.60)

Окончательно для нормированной волновой функции можем теперь записать

(3.2.61)

Аналогичным образом можно показать ортогональность волновых функций с разными . Но в этом нет необходимости, ибо в главе 2 уже была доказана ортогональность волновых функций, принадлежащих различным физическим состояниям. Итак, для функций (3.2.61) можно записать общее соотношение ортонормировки

(3.2.62)

Заметим, что хотя формально конфигурационное пространство распространяется в данном случае на всю ось (от до ), фактически, ввиду присутствия экспоненциального множителя в (3.2.61), движение можно считать финитным, ибо волновая функция в области быстро спадает с расстоянием. В частности, например, для видимого света и .

Интересно отметить, что, поскольку потенциальная энергия гармонического осциллятора, а вместе с ней и оператор Гамильтона коммутирует с оператором пространственной инверсии

(3.2.63)

то стационарные состояния осциллятора должны разделяться на четные и нечетные. Из явного вида минимальных полиномов Эрмита (см. (3.2.43)) видно, что все состояния с четным относятся к четным состояниям, а все состояния с нечетным – к нечетным, т.е.

(3.2.64)

В заключение укажем, что появление в теории Шредингера нулевой энергии гармонического осциллятора (3.2.36) непосредственно связано с соотношением неопределенностей Гайзенберга. В одномерном случае для координаты и импульса имеем

(3.2.65)

Учитывая, что волновые функции осциллятора либо четны, либо нечетны, к тому же нами они выбраны вещественными вместе с нормирующими множителями, можно утверждать, что выражение

(3.2.66)

нечетно, и поэтому при интегрировании по всему конфигурационному

-пространству имеем

(3.2.67)

Отсюда

(3.2.68)

Для импульса, с учетом поведения волновой функции на бесконечности имеем

(3.2.69)

и, следовательно, как и в случае координаты,

(3.2.70)

В соответствии с результатами (3.2.68), (3.2.70), соотношение неопределенностей (3.2.65) в случае гармонического осциллятора принимает форму

(3.2.71)

Обращаясь к среднему значению энергии, совпадающему в стационарных состояниях с конкретным истинным значением энергии, исходя из гамильтониана (3.2.4), имеем

(3.2.72)

или с учетом (3.2.71)

(3.2.73)

Уже отсюда видно, что энергия никогда не может быть нулем.

Определим, при каких энергия минимальна. Для этого приравняем нулю производную от (3.2.73) по

(3.2.74)

или

(3.2.75)

откуда

(3.2.76)

Следовательно

(3.2.77)

что совпадает с (см. (3.2.36)), найденным при решении уравнения Шредингера.

Рассмотрим теперь трехмерный гармонический осциллятор, т.е. квантовомеханическую задачу о движении микрочастиц в поле

(3.2.78)

Поскольку потенциальная энергия представлена в виде суммы трех составляющих, каждое из которых зависит лишь от одной переменной, задача (3.2.78) допускает разделение переменных и сводится по каждой переменной к уже изученной задаче, т.е.

(3.2.79)

Координатная волновая функция при этом может быть представлена в виде

(3.2.80)

где , , – функции, задающиеся выражением (3.2.61), т.е.

.(3.2.81)

Соответствующие собственные значения энергии определяются формулой

(3.2.82)

Так же, как и в случае трехмерной потенциальной ямы, здесь возможно случайное и истинное (симметрийное) вырождение по энергии.

В самом деле, пусть, например, мы имеем дело с разными, но кратными частотами

(3.2.83)

Тогда

(3.2.84)

Рассмотрев частную ситуацию, когда энергия, например, , т.е. когда , имеем следующие различные физические состояния с этим значением энергии:

8	1	1
5	1	2
6	2	1
3	2	2
4	3	1
2	1	3
1	3	2
0	2	3

(3.2.85)

и другие. Это случайное вырождение, связанное с конкретным видом потенциальной энергии осциллятора.

В случае равенства частот

, (3.2.86)

имеет место симметрия всех пространственных направлений. Энергия состояния при этом имеет вид

(3.2.87)

Энергия , равная, например, , то есть когда , реализуется в следующих различных физических состояниях:

6	0	0
0	6	6
0	0	6
5	1	0
1	5	0
0	5	1
0	1	5
5	0	1
1	0	5

(3.2.88)

и т.д. Фигурной скобкой объединены состояния, сводящиеся одно к другому переименованием пространственных осей, т.е. состояния, ответственные за истинное, симметрийное вырождение. Вырождение, возникающее за счет состояний, принадлежащих разным по фигурным скобкам группам, носит случайный характер (дополнительное вырождение).

Подсчитаем кратность вырождения по энергии при выполнении условия (3.2.86). Поскольку уровень энергии определяется суммой , то число независимых функций, соответствующих этому значению энергии, определяется числом различных троек , , . При заданном и фиксированном число различных троек , , равно числу различных допустимых , т.е. . Суммируя последнее число по всем допустимым при данном значениям , получаем полное число различных комбинаций , , , т.е. кратность вырождения уровня равна

Низший уровень энергии оказывается невырожденным .

Таким образом, как и в задаче о трехмерной потенциальной яме, в случае пространственной симметрии , т.е. равноправия осей , , , возникает, как истинное (симметрийное) вырождение, так и случайное (дополнительное) вырождение. В отсутствии симметрии (нет равноправия координатных направлений), т.е. когда , , произвольны, может иметь место лишь случайное вырождение по энергии.

Не представляет труда распространить результаты одномерной задачи на случай гармонического осциллятора, находящегося в однородном электрическом поле .

Поскольку

, (3.2.89)

и в одномерном случае

(3.2.90)

полагаем

(3.2.91)

Тогда в гамильтониане (3.2.4) следует добавить энергию взаимодействия электрического заряда осциллятора с полем (3.2.91), т.е.

(3.2.92)

Произведя замену переменной , согласно

(3.2.93)

имеем

(3.2.94)

Гамильтониан (3.2.94) с точностью до несущественной аддитивной постоянной совпадает с гамильтонианом осциллятора в отсутствии электрического поля (3.2.4). Этот осциллятор имеет ту же частоту , но его положение равновесия смещено в точку , т.е. согласно (3.2.93), в точку

(3.2.95)

Эта точка соответствует взаимному уравновешиванию электрической и упругой сил, т.е. минимуму потенциальной энергии:

(3.2.96)

приходим снова к выражению (3.2.95).

Из сказанного следует, что система уровней энергии гармонического осциллятора в однородном электрическом поле остается той же, что и в отсутствие поля, т.е. задается выражением (3.2.34), но уровни отсчитываются не от нуля, а от минимума потенциальной энергии, т.е.

(3.2.97)

Волновые функции при этом имеют вид (3.2.61), однако должны быть заданы как функции «сдвинутого» аргумента:

(3.2.98)