3.6 Потенциальный барьер бесконечной ширины (потенциальная ступенька)

Рассмотрим движение частицы в поле, изображенном на рис. 3.10 :

(3.6.1)

Уравнение Шредингера при этом имеет вид

. (3.6.2)

В случае, когда полная энергия , вводя обозначения

(3.6.3)

приходим к следующим уравнениям :

(3.6.4)

Решение этих уравнений записываем в виде

(3.6.5)

Из соображений ограниченности волновой функции при необходимо положить . В итоге в качестве волновой функции имеем:

. (3.6.6)

Условия непрерывности волновой функции и ее производной в нуле имеют вид

(3.6.7)

откуда

(3.6.8)

Для коэффициента отражения при этом получаем

, (3.6.9)

т.е. имеет место полное отражение.

В соответствии с законом сохранения материи (3.1.117) для коэффициента прохождения имеем

(3.6.10)

Это не означает, однако, что частица не проникает в классически запрещенную для движения частиц область II. В самом деле, имеется отличная от нуля вероятность проникновения частицы в область II (область ):

(3.6.11)

Но эта вероятность быстро спадает (экспоненциально) с ростом , т.е. по мере проникновения вглубь потенциального барьера.

Рассмотрим вторую ситуацию: полная энергия . Удобно ввести следующие обозначения:

(3.6.12)

после чего уравнение Шредингера записывается в виде

(3.6.13)

В предположении, что частица движется слева направо, и, следовательно, в области I имеются падающая и отраженная волны, а в области II – лишь прошедшая волна, решение уравнений (3.6.13) принимаем в виде

(3.6.14)

Требования непрерывности плотности вероятности (непрерывности волновой функции) и плотности тока вероятности (непрерывности производной волновой функции) при , т.е. на границе областей I и II, дают уравнения

(3.6.15)

откуда

(3.6.16)

Коэффициенты отражения и прохождения при этом задаются выражениями

(3.6.17)

Вероятность отражения частицы от потенциальной ступеньки при – это чисто квантовый эффект. Классически в этом случае частица всегда пролетает из в . В квантовомеханической задаче всегда . Кроме того, при , т.е. когда , происходит полное отражение и , .

Заметим также, что в случае имеется отличная от нуля вероятность отражения частицы в точке при ее движении справа налево. В самом деле, в этом случае, полагая, что в области II имеются падающая и отраженная волны, а в области I – лишь прошедшая, для волновой функции, в соответствии с уравнениями (3.6.13), можно записать

(3.6.18)

Граничные условия при дают

(3.6.19)

откуда

(3.6.20)

Для коэффициентов отражения и прохождения при этом имеем соответственно

(3.6.21)

При , когда , , как и в предыдущем случае, с ростом энергии частицы (см. (3.6.17) и (3.6.21)) коэффициент отражения падает. При условии можно положить и независимо от направления движения частицы вероятность ее отражения в точке стремится к нулю, т.е. при очень больших энергиях частицы движутся так же, как в отсутствии потенциальной ступеньки (3.6.1).