§11 Подстановки Эйлера

Рассмотрим интеграл вида:

, (10.1)

где .

Докажем, что интегралы вида (10.1) всегда можно рационализовать при помощи одной из подстановок Эйлера.

1 случай. . В этом случае можно применить первую подстановку Эйлера:

(10.2)

На самом деле, если обе части равенства (10.2) возвести в квадрат и решить полученное уравнение относительно , получим:

; ; ;

.

Значит, , где – рациональная функция аргумента .

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ.

.

2 случай. Квадратный трехчлен имеет разные действительные корни α и β. В этом случае используют вторую подстановку Эйлера:

(10.3)

Если возвести обе части равенства (10.3) в квадрат и сократить на , получим уравнение первой степени. Действительно,

;

.

Откуда ; ; .

Подставим найденные выражения в (10.1) и получим интеграл от рациональной функции: ,

где - рациональная функция аргумента .

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Квадратный трехчлен имеет разные действительные корни, поэтому будем пользоваться второй подстановкой Эйлера:

.

Отсюда будем иметь: ; ;

; ; ;

.

Окончательно имеем:

.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Первой и второй подстановок Эйлера достаточно для того, чтобы осуществить рационализацию интеграла (10.1) во всех возможных случаях.

Действительно, если , то можно использовать первую подстановку. Если же , то трехчлен должен иметь разные действительные корни, ведь в противоположном случае выражение будет мнимым, а мы рассматриваем здесь только действительные функции действительной переменной. Значит, при можно пользоваться второй подстановкой Эйлера.

Однако существует еще третья подстановка Эйлера:

Эту подстановку используют в случаи .

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Вычисление интеграла вида (10.1) при помощи подстановок Эйлера приводит к громоздким вычислениям. Поэтому подстановки Эйлера необходимо использовать только в том случае, если рассматриваемый интеграл другими методами вычислить невозможно.

1. .

Вычисление таких интегралов целесообразно осуществлять следующим методом: в квадратном трехчлене выделяем полный квадрат двучлена, а потом делаем подстановку.

ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. .

2. .

При помощи подстановки эти интегралы сводятся к интегралам вида 1.

3. .

Путем вычисления из квадратного трехчлена полного квадрата данный интеграл сводится к одному из следующих двух интегралов:

,

.

ПРИМЕР 4. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. .

12 Интегрирование тригонометрических выражений

1. Рассмотрим общий метод нахождения интеграла вида

, (11.1)

где - рациональная функция относительно .

Докажем, что интегралы такого типа рационализируются при помощи подстановки . Применив известные тригонометрические формулы, имеем:

,

.

Наконец учитывая, что , находим , . Таким образом, если предположить , то

, , . (11.2)

Формулы (11.2) показывают, что рационально выражаются через . Подставив в подынтегральное выражение вместо их значения, определяемые равенствами (11.2), получаем:

,

– рациональная функция переменной .

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ.

.

ПРИМЕР 2. Найти интеграл .

РЕШЕНИЕ. .

ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл .

.

Подстановка часто приводит к громоздким алгебраическим выражениям и с этой точки зрения не всегда бывает наилучшей. В зависимости от структуры подынтегральной функции, для рационализации интеграла могут быть использованы другие подстановки.