§8 Интегрирование рациональных функций

Функция называется рациональной, если над аргументом выполняется только конечное число арифметических операций.

Всякую рациональную функцию можно представить в виде:

, где и - многочлены степени и соответственно:

,

.

Многочлен есть частный случай рациональной функции. Его называют целой рациональной функцией. Рациональная функция, которая не является целой, называется дробно-рациональной функцией или рациональной дробью.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, э.зн., если . Если , то дробь называется неправильной.

Если выделить из неправильной дроби ее целую часть (путем деления числителя на знаменатель), то всегда можно записать ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

ПРИМЕР 1. .

Поскольку интегрирование многочлена не вызывает трудностей, то достаточно научиться интегрировать правильные рациональные дроби.

В курсе алгебры доказывается, что многочлен можно записать в виде произведения линейных и квадратных множителей с действительными коэффициентами (причем дискриминант каждого квадратного множителя меньше нуля). Если объединить одинаковые множители, то получим следующее представление многочлена :

(7.1)

где .

Сформулируем теорему, которая позволяет свести интегрирование любой правильной дроби к интегрированию простейших дробей.

ТЕОРЕМА 7.1 (о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей)

Если - правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет представление (7.1), то эту дробь можно записать единственным способом в виде суммы простейших дробей, причем каждому множителю вида соответствует следующая сумма простейших дробей: , а каждому множителю вида – следующая сумма простейших дробей: .

Таким образом, правильная рациональная дробь, где знаменатель имеет вид (7.1), можно записать в виде следующей суммы простейших дробей: .

где - некоторые числа.

Разложение (7.2) называется разложением рациональной функции на простейшие дроби.

Чтобы определить числа умножим обе части разложения (7.2) на . Поскольку равенство среди многочленом и многочленом, который получится в правой части, справедливая для всех , то коэффициентов, которые стоят при одинаковых степенях , равные между собой. Таким образом получим уравнение первой степени, из которых и находим неизвестные числа .

Изложенный метод нахождения разложения рациональной функции называется методом неопределенных коэффициентов.

ПРИМЕР 2. Найти .

РЕШЕНИЕ. Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь. Выделив целую часть, получим:

. Значит

.

Учитывая, что , найдем разложение привальной дроби на простейшие дроби. Поскольку знаменатель имеет только действительные корни, то разложение дроби согласно теореме 7.1 имеет вид . Отсюда следует:

,

. (7.4)

Если сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях равенства, то получим систему уравнений:

Решив эту систему, находим , , .

Подставив найденные значения коэффициентов в равенство (7.3), получим .

Таким образом, окончательно имеем .

Часто нахождение коэффициентов разложения можно значительно упростить. Действительно, рассмотрим только что приведенный пример. Полученное выражение (7.4) есть тождество, справедливое при любом значении .

Возьмем такое значение , при котором выражение (7.4) примет наиболее простой вид. Полагаем , имеем , откуда .

Аналогично, полагая , найдем , откуда . Такой метод нахождения неизвестных коэффициентов разложения называется методом частичных значений. На практике часто комбинируют рассмотренными выше методами.