38. Критич. Обл, мощность критерия.

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из кот содержит значения критерия, при кот. нулевая гипотеза отвергается, а другое – при кот. она принимается. Критической областью наз. совок. значений критерия, при кот. нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) наз. совок. значений критерия, при кот. гипотезу принимают. Так как критерий K – одномерная СВ, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу и должны существовать точки, разделяющие критическую область и область принятия гипотезы. Такие точки наз. критическими точками. Различают одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю критические области. Правосторонней наз. критическую область, определяемую неравенством , где – положительное число.

Левосторонней наз. критическую область, определяемую неравенством , где – отрицательное число. Двусторонней наз. критическую область, определяемую неравенствами , где . В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами или равносильным неравенством . Вероятность ошибки второго рода обозначается β , а величина 1-β называется мощностью критерия. Чем меньше α , тем менее вероятно отклонить верную основную гипотезу. Чем больше мощность критерия, тем менее вероятно принять неверную основную гипотезу. Однако одновременное уменьшение ошибок первого и второго рода возможно лишь при увеличении объема выборки. Поэтому при заданном уровне значимости среди доступных исследователю критериев отыскивается критерий с наибольшей мощностью.

39. Схема проверки статист. Гипотезы.

Этапы проверки статистической гипотезы:

• Формулируется нулевая гипотеза ;

• Определяется критерий K, по значениям кот. можно будет принять или отвергнуть и выбирается уровень значимости ;

• По уровню значимости определяется критическая область;

• По выборке вычисляется значение критерия K, определяется, принадлежит ли оно критической области и на основании этого принимается или .

Основной принцип проверки статист. гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

40. Проверка гипотез о матем. Ожидании св, распределённой по нормальному закону

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных СВ при известной дисперсии.Обозначим через п и т объемы больших (n > 30, т > 30) независимых выборок, по кот. найдены соответствующие выборочные средние х и у. Генеральные дисперсии D (X) и D (Y) известны.Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н_о: М (Х) = М(У) о равенстве матема­тических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных гене­ральных совокупностей с известными дисперсиями (в случае больших выборок) при конкурирующей гипотезе Н₁: М (X) М (Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку из равенства

Если | Z_набл | < Z_табл — нулевая гипотеза принимается. Если | Z_набл | >Z_табл —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н₁ :М(Х)>М(У) находят критическую точку по таблице функции Лапласа из равенства

Если | Z_набл | < Z_табл — нулевая гипотеза принимается. Если | Z_набл | >Z_табл —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁ :М (X) < М (У) находят «вспомогательную точку» по правилу 2. Если | Z_набл | < Z_табл — нулевая гипотеза принимается. Если | Z_набл | >Z_табл — нулевую гипотезу отвергают.

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных случайных величин при неизвестной дисперсии.

Обозначим через п и т объемы малых независимых выборок (n< 30, т < 30), по которым найдены соответствующие выборочные средние х и у и исправленные выборочные дисперсии D (X) и D (Y) . Гене­ральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинако­выми.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н_о: М (X) = М (У) о равенстве мате­матических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных сово­купностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе H₁: М(Х) М(У), надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по за­данному уровню значимости , и по числу степеней свободы k = n+m- 2 найти критическую точку t( ,k). Если | T_набл | < t( ,k) — нулевая гипотеза принимается. Если | T_набл | > t( ,k) —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе М (X) > М (У) находят критическую точку t( ,k) по таблице приложения по уровню значимости , помещенному в нижней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n+m—2. Если | T_набл | < t( ,k) — нулевая гипотеза принимается. Если | T_набл | > t( ,k)— нулевую гипотезу отвергают.