4.Основные правила и формулы комбинаторики

Рассмотрим совок. n-различных пронумерованных элементов(а1,а2……аn).Мы выбираемя из этой совок. альфаК элементов.Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов наз. соединением.Эта выборка может быть как без повторений так и с повторениями. 1. Выбор с учётом порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. (1, 5, 2), (2, 5, 1) и (4, 4, 5) различны,2. Выбор без учёта порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом. (1, 5, 2) и (2, 5, 1) 3.с возвращением.каждый выбранный шарик возвращается в урну.Номера могут повторяться 4. без возвращения.не встреч. Одни и те же номера. Размещением наз. их соединение каждое из кот. содержит =m различных элементов и кот. отлич. либо элементами либо порядком элементов. Теорема: общее кол-во размещений

Соединение из n-элементов каждое из кот содержит n-элементов и кот отлич лишь порядком наз перестановками: Pn=n!. Сочетаниями наз соединение каждое из кот содержит =m данных элементов и кот. отлич хотя бы одним элементом

Св-ва сочетания:1) 2) 3)      ;4)      ;

Теорема: общее кол-во выборок в схеме выбора m-элементов из n с возвращ. и с учетом порядка определ: Теорема: общее кол-во выборок в схеме выбора m-элементов из n с возвращ. и без учета порядка

5.Класс. Определение вероятности

Вероятность-колич. мера возможности появления рассматриваемого события.Вероятность события А=соотношению числа благоприятствующих(m) исходов к числу всевозможных(n). A=m/n. Из определения события А следует что m находиться поэтому всегда выполняется условие .Если m=0 то Р(А)=0;если Р(А)=0 то А невозможное;если Р(А)=1 то А достоверное (m=n).Равновозможные события обладают одной и той же вероятностью.Теорема:вероятность события противоположного событию А=разности 1 и вероятности события А,т.е.

6.Геометр. Определение вероятности

Геом. вероятность применима к испытаниям с бесконечным числом исходов Р(А)=mes g/mes G

Пример:пусть плоская фигура g с площадью Sg составляет часть плоской фигуры G площадью S_G. На фигуру G бросается точка,какова вероятность того точка падает в фигуру g.Решение: Р(А)= Sg/ S_G

7.Теоремы сложения вероятностей

Теорема:вероятность суммы конечного числа несовместных событий А₁.А₂,….,А_n=сумме вероятностей этих событий

Теорема:вероятность появления хотя бы 1-го из 2-ух совместных событий = сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

8. Теоремы умножения вероятностей

Если при наступлении события А вероятность события В не меняется то события А и В – независимые. Теорема:вероятность совместного появления 2-ух независимых событий А и В = произведению этих событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В). События А₁.А₂,….,А_n наз. попарно независимыми если независимы любые 2 из них. События А₁.А₂,….,А_n независ. Совок. если каждое из этих событий и событие равное произведению любого числа остальных независимы.Теорема: вероятность произведения конечного числа независимых в совок. событий А₁.А₂,….,А_n =произведению вероятностей этих событий Р(А₁.А₂,….,А_n)=Р(А₁)*Р(А₂)….*Р(А_n).Вероятность события А вычисленная при условии что произошло другое событие В наз. условной вероятностью события А. Р(А/В)=Рв(А).Теорема: вероятность произведения 2-ух событий= произведению вероятности 1 из них на условную вероятность другого вычисленную при условии что первое событие произошло Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(А/В).Теорема:вероятность произведения конечного числа событий= произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий т.е. Р(А*В,….,L*M)= P(A)*P(B/A)…..P(M)*P(M/AB….LM)