54. Ортонормированный базис.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Векторы e₁, e₂, …, e_n n-мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если (e_i, e_j) = 0 при i  j и |e_i| = 1 при i = 1, 2, …, n.

Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

55. Процесс ортогонализации векторов.

Ортогонализация – процесс построения по заданному базису линейного пространства некоторого ортогонального базиса, который имеет ту же самую линейную оболочку. Ввиду удобства и важности ортогональных базисов в различных задачах, важны и процессы ортогонализации.

Алгоритмы ортогонализации.

Для получения ортогонального базиса часто используется процесс Грама-Шмидта, в ходе которого из каждого вектора данного набора, начиная со второго, вычитается его проекция на подпространство, порождённое всеми предыдущими векторами. Существуют и другие алгоритмы (обладающие лучшей вычислительной устойчивостью), использующие преобразования Хаусхолдера (отражения) или повороты Гивенса.

56. Линейные операторы.

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный вектор y пространства R^m, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) Ã(x), действующий из Rⁿ в R^m, и записывают y = Ã(x).

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов x и y пространства Rⁿ и любого числа λ выполняются соотношения:

1. Ã(x + y) = Ã(x) + Ã(y) – свойство аддитивности оператора;

2. Ã(λx) = λÃ(x) – свойство однородности оператора.

Вектор y = Ã(x) называется образом вектора x, а сам вектор x – прообразом вектора y.

57. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Теорема. Матрицы A и A^* линейного оператора Ã в базисах e₁, e₂, …, e_n и e₁^*, e₂^*, …, e_n^* связаны соотношением

A^* = C^–1AC,

где C – матрица перехода от старого базиса к новому.

При воздействии линейного оператора Ã вектор x пространства Rⁿ переводится в вектор y этого пространства, т.е. справедливы равенство Y = AX (в старом базисе) и равенство Y^* = A^*X (в новом базисе). Так как C – матрица перехода от старого базиса к новому, то

X = CX^*,

Y = CY^*.

58. Линейные преобразования.

См. вопрос № 56.

59. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Определение. Вектор x  0 называется собственным вектором линейного оператора Ã, если найдется такое число λ, что

Ã(x) = λx.

Число λ называется собственным значением оператора Ã (матрицы A), соответствующим вектору x.

60. Преобразование матрицы линейного оператора к диагональному виду.

Наиболее простой вид принимает матрица A линейного оператора Ã, имеющего n линейно независимых собственных векторов e₁, e₂, …, e_n с собственными значениями, соответственно равными λ₁, λ₂, …, λ_n. Векторы e₁, e₂, …, e_n примем за базисные. Тогда Ã(e_i) = λ_ie_i (i = 1, 2, …, n) или

Ã(e_i) = a_1ie₁ + a_2ie₂ + … + a_iie_i + … + a_nie_n = λ_ie_i,

откуда a_ij = 0, если i  j, и a_ii = λ_i, если i = j. Таким образом, матрица оператора Ã в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

Верно и обратное: если матрица A линейного оператора Ã в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса – собственные векторы оператора Ã.

Если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.