48. Линейное (векторное) пространство.

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1. x + y = y + x – коммутативное (переместительное) свойство суммы;

2. (x + y) + z = x + (y + z) – ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;

3. (x) = ()x – ассоциативное относительно числового множителя свойство;

4. (x + y) = x + y – дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;

5. ( + )x = x + x – дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;

6. Существует нулевой вектор 0 = (0, 0, …, 0) такой, что x + 0 = x для любого вектора x (особая роль нулевого вектора);

7. Для любого вектора x существует противоположный вектор (–x) такой, что x + (–x) = 0;

8. 1x = x для любого вектора x (особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

Следует отметить, что под x, y, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

49. Линейная зависимость векторов.

Векторы a₁, a₂, …, a_m векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁, λ₂, …, λ_m, не равные одновременно нулю, что

λ₁a₁ + λ₂a₂ + … + λ_ma_m = 0.

В противном случае векторы a₁, a₂, …, a_m называются линейно независимыми.

50. Размерность и базис векторного пространства.

Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства R и обозначается dim(R).

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом.

51. Разложение вектора по базису.

См. вопрос № 20.

52. Переход к новому базису.

Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый e₁, e₂, …, e_n и новый e₁^*, e₂^*, …, e_n^*. Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса e₁, e₂, …, e_n к новому e₁^*, e₂^*, …, e_n^* задается матрицей перехода a₁₁ и т.д.

причем коэффициенты размножения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.

53. Евклидово пространство.

Определение. Скалярным произведением двух векторов x = (x₁, x₂, …, x_n) и y = (y₁, y₂, …, y_n) называется число

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. (x,y) = (y,x) – коммутативное свойство;

2. (x,y+z) = (y,x) + (x,z) – дистрибутивное свойство;

3. (x,y) = (x,y) – для любого действительного числа ;

4. (x,x) > 0, если x – ненулевой вектор; (x,x) = 0, если x – нулевой вектор.

Определение. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством.