20. Разложение вектора по координатному базису.

Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации ₁, ₂, …, _n  R называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .

Теорема. (О разложении вектора по базису). Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

21. Скалярное произведение векторов, его свойства.

Скалярным произведением ( , ) двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла  между ними:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

при угол  = 0, cos = 1.

22. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

23. Векторное произведение векторов и его свойства.

Векторным произведением вектора на вектор в пространстве R³ называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла  между ними: ;

• вектор ортогонален каждому из векторов и ;

• вектор направлен так, что тройка векторов abc является правой;

• в случае пространства R⁷ требуется ассоциативность тройки векторов , , .

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный: .

24. Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Если два вектора и представлены в ортонормированном базисе , , а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид

25. Смешанное произведение трех векторов.

Смешанное произведение векторов , , – скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

26. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.

Смешанное произведение (a, b, c) в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов , и :

Смешанное произведение (a, b, c) в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов , и , взятому со знаком «минус»:

27. Условия перпендикулярности, коллинеарности, компланарности векторов.

Условие перпендикулярности векторов.

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Даны два вектора и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение .

Условие коллинеарности векторов.

Векторы коллинеарны, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого – к ординате второго.

Даны два вектора и . Эти векторы коллинеарны, если x_a = λx_b и y_a = λy_b, где λ  R.

Условия компланарности векторов.

• Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

• Три вектора компланарны, если они линейно зависимы.

28. Простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между точками, деление отрезка в заданном отношении).

Расстояние между двумя точками.

где и радиус-векторы точек M₁ и M₂.

В координатах:

на прямой ;

на плоскости ;

в пространстве .

Деление отрезка в заданном отношении λ.

В координатах:

на прямой ;

на плоскости , ;

в пространстве , , .

29. Общее уравнение прямой на плоскости, его частные случаи.

Частные случаи уравнения:

1. – прямая параллельна оси Ox;

2. – прямая параллельна оси Oy;

3. – прямая проходит через начало координат;

4. – ось Ox;

5. – ось Oy.

30. Угловой коэффициент прямой.

31. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

32. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

33. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

34. Уравнение прямой в отрезках на осях.

35. Угол между прямыми на плоскости, условия перпендикулярности и параллельности прямых.

Угол между двумя прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых.

Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

Условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями, является пропорциональность коэффициентов при переменных.

Условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных x и y.