3.2 Модели и моделирование

Моделирование есть построение, использование и совершенствование

моделей. Первоначально моделью называли некое вспомогательное средство,

объект, который в определенной ситуации заменяет другой объект.

Осмысливание основных особенностей моделей привело к разработке

многочисленных определений, например: моделью называется некий объект-

заместитель, который в определенных условиях может заменять объект-

оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики ори-

гинала, причем имеет существенное преимущество удобства (наглядность,

обозримость, доступность и т.д.).

Далее было признано, что моделями могут служить не только реаль-

ные объекты, но и абстрактные, идеальные построения. Типичным примером

служат математические модели. В результате деятельности математиков, ло-

гиков и философов была создана теория моделей. В ней модель определяется

как результат обращения одной абстрактной математической структуры

на другую, тоже абстрактную либо как результат интерпретации струк-

туры в терминах и образах второй. Понятие модели становилось все более

общим, охватывающим и реальные, и идеальные модели. При этом понятие

абстрактной модели вышло за пределы математических моделей, стало отно-

ситься к любым знаниям и представлениям о мире.

Моделирование − неотъемлемый этап всякой целенаправленной дея-

тельности. Всякий процесс труда есть деятельность, направленная на дости-

жение определенной цели. Целевой характер имеет и всякая деятельность че-

ловека. Важнейшим организующим элементом такой деятельности является

цель − образ желаемого будущего, т.е. модель состояния, на реализацию ко-

торого и направлена деятельность. Однако роль моделирования этим не огра-

ничивается. Системность деятельности проявляется в том, что она осуществ-

57

ляется по определенному плану, алгоритму. Следовательно, алгоритм − образ

будущей деятельности, ее модель.

Цель как модель. Из предыдущего видно, что модель является не

просто образом-заменителем оригинала, не вообще каким-то отображением, а

отображением целевым.

Чтобы подчеркнуть это, представим, какие модели одного и того же

бревна используют в своей деятельности разные члены туристической группы,

пришедшие к месту стоянки. Одному поручено оборудовать лагерь, и он при-

кидывает, использовать ли это бревно для стола или как сиденье; другой отве-

чает за кострище, а для дров от бревна требуются не геометрические, а совсем

другие качества; третьего интересует возраст дерева, и он обследует спил де-

рева; художник ищет у бревна сук с замысловатым изгибом. Короче говоря,

модель отображает не сам по себе объект-оригинал, а то, что нас в нем интере-

сует, т.е. то, что соответствует поставленной цели. Из того, что модель являет-

ся целевым отображением, с очевидностью следует множественность моделей

одного и того же объекта: для разных целей обычно требуются разные модели.

Познавательные и прагматические модели. Разделим модели на по-

знавательные и прагматические, что соответствуют делению целей на теоре-

тические и практические. Познавательные модели являются формой органи-

зации и представления знаний, средством соединения новых знаний с имею-

щимися. Поэтому использование прагматических моделей состоит в том, что-

бы при обнаружении расхождений между моделью и реальностью направить

усилия на изменения реальности так, чтобы приблизить реальность к модели.

Примером являются планы, программы, уставы, кодексы законов и т.д.

Статические и динамические модели. Модели делятся на статиче-

ские и динамические. Для одних целей нам может понадобиться модель кон-

кретного состояния объекта, своего рода моментальная фотография интере-

сующего нас объекта. Такие модели называются статическими. Примером

являются структурные модели систем. В тех же случаях, когда наши цели

связаны не с одним состоянием, а с различием между состояниями, возникает

необходимость в отображении процесса, изменений состояния. Такие модели

называются динамическими; примером их служат функциональные модели

систем.

Абстрактные и материальные модели . Абстрактные модели явля-

ются идеальными конструкциями, построенными средствами мышления,

сознания. Это языковые модели, вплоть до математических, которые облада-

ют абсолютной точностью, если есть достаточные знания.

Чтобы некоторая материальная конструкция могла быть отражением,

т.е. замещала в каком-то отношении оригинал, между оригиналом и моделью

должно быть установлено отношение похожести, подобия. Существуют раз-

ные способы установления подобия. Прежде всего прямое подобие, устанав-

ливаемое в результате физического взаимодействия в процессе создания мо-

58

дели. Примерами могут служить фотографии, масштабированные модели са-

молетов, кораблей, сооружений, макеты зданий, протезы, выкройки и т.д.

Второй тип подобия назовем косвенным. Косвенное подобие между

оригиналом и моделью объективно существует в природе, обнаруживается в

виде совпадения или достаточной близости их абстрактных моделей и после

этого используется в практике реального моделирования. Наиболее известным

примером этого является электромеханическая аналогия. Оказалось, что неко-

торые закономерности электрических и механических процессов описываются

одинаковыми уравнениями. Часы − аналог времени; подопытные животные у

медиков − аналоги человеческого организма; автопилот − аналог летчика;

электрический ток в цепях может моделировать транспортные потоки инфор-

мации в сетях связи, течение воды в городской водопроводной сети и т.д.

Третий тип подобия условный. Особый класс реальных моделей обра-

зуется, когда подобие устанавливается в результате соглашения. Примером

могут служить деньги (модель стоимости), удостоверение личности (офици-

альная модель владельца), рабочие чертежи (модель будущей продукции),

карты (модели местности) и т.д.

Приближенность модели. Характерной чертой модели является при-

ближенность отображения действительности. Величину, меру, степень при-

емлемости различия мы можем ввести только соотнеся модель с целью моде-

лирования. Скажем, точность наручных часов вполне достаточна для быто-

вых нужд, и совершенно недостаточна при регистрации спортивных рекордов

или для целей астрономии.

Адекватность модели. Модель, с помощью которой успешно дости-

гается поставленная цель, будем называть адекватной этой цели. Подчерк-

нем, что введенное таким образом понимание не полностью совпадает с тре-

бованиями полноты, точности и правильности (истинности): адекватность

означает, что эти требования выполнены не вообще, а лишь в той мере, кото-

рая достаточна для достижения цели. Например, геоцентрическая модель

Птоломея была неправильной, но адекватной в смысле точности описания

движения планет.

Модель «черного ящика». Для более определенной и четкой характе-

ристики конструкции системы следует развивать модель системы.

Перейдем от конструктивного определения системы к его визуальному

эквиваленту.

1. Приведенное определение не говорит о внутреннем устройстве сис-

темы. Поэтому ее можно изобразить в виде непрозрачного «ящика», выде-

ленного из окружающей среды. Эта модель отражает целостность и обособ-

ленность от среды.

2. В определении говорится о том, что хотя «ящик» и обособлен, вы-

делен из среды, но он не является полностью изолированным.

Система полностью связанна со средой и с помощью этих связей воз-

действует на среду. Эти связи называются выходами системы. Подчеркнем,

59

что выходы системы соответствуют слову «цель» в определении системы.

Кроме того, система является средством, поэтому можно воздействовать на

нее (связи извне) входами.

В результате мы построили модель системы, которая получила назва-

ние черного ящика (рис. 3.2).

Входы Выходы

Рис. 3.2

Это название подчеркивает полное отсутствие сведений о внутреннем

содержании. Такая модель очень часто оказывается полезной. Например, те-

левизор имеет входы (шнур электропитания, антенна, ручка управления и на-

стройка) и выходы (экран кинескопа и звукодинамики).

Существуют и сложности построения «черного ящика» для конкрет-

ных реальных систем.

Пример: опишем выходы системы «наручные часы». Учитывая, что

выходы соответствуют конкретизации цели, фиксируем в качестве выхода

показания времени в произвольный момент. Затем принимаем во внимание,

что сформулированная таким образом цель относится ко всем часам, а не

только к нашим наручным часам. Чтобы различить их вносим следующее до-

бавление (выход): удобство ношения часов на запястье; тогда появляется обя-

зательность ремешка или браслета, а с ним и еще один выход: удовлетворе-

ние требований санитарии и гигиены. Далее можно добавить следующие вы-

ходы: достаточную в бытовых условиях прочность, пылевлагонепроницае-

мость, достаточную точность, легкость прочтения показаний часов, соответ-

ствие моде, цена, габариты, вес. Главной причиной множественности входов

и выходов в модели «черного ящика» является то, что всякая реальная систе-

ма, как и любой объект, взаимодействует с объектами окружающей среды не-

ограниченным числом способов. Строя модель мы отбираем конечное число

входов и выходов по целевому назначению т.е., по существенности той или

иной связи по отношению к цели. Несущественные связи не включаем в мо-

дель, но они, конечно, все равно действуют независимо от нас. Нередко ока-

зывается, что казавшееся несущественным или неизвестным для нас, являет-

ся важным и должно быть учтено.

Особое значение это имеет при задании цели системы, т.е. при опреде-

лении выходов системы главную цель приходится сопровождать заданием

дополнительных целей. Важно подчеркнуть, что выполнение только основной

цели недостаточно, что невыполнение дополнительных целей может сделать

ненужным или даже вредным и опасным достижение основной цели.

60

Модель «черного ящика» часто оказывается не только очень полезной,

но в ряде случаев единственно применимой при изучении системы. Напри-

мер, при влиянии лекарства на живой организм мы выводы делаем только на

основании наблюдений; при действительном отсутствии данных о внутрен-

нем устройстве системы приходится ограничиваться только этой моделью.

Модель состава системы. При рассмотрении любой системы обнару-

живается, что ее целостность и обособленность (отображенные в модели

«черного ящика») выступают как внешние свойства. Внутренность же «ящи-

ка» оказывается неоднородной, что позволяет различать составные части са-

мой системы. При более детальном рассмотрении некоторые части системы

могут быть, в свою очередь, разбиты на составные части и т.д. Те части сис-

темы, которые мы рассматриваем как неделимые, будем называть элемента-

ми. Части системы, состоящие более, чем из одного элемента, назовем под-

системами.

В результате получается модель состава системы, описывающая, из

каких подсистем и элементов она состоит (рис. 3.3).

рисунок.

Система

Подсистема

Подподсистема

элементы

элементы

элементы

элементы

элементы

Рис. 3.3

61

№

Системы

Подсистемы

Элементы

1

Система телевидения

Подсистема передач Центральная теле-

студия. Антенно-

передающий центр

Канал связи

Среда распростране-

ния радиоволн.

Спутники ретранс-

ляторы.

Приемная подсисте-

Местные телесту-

ма

дии. Телевизоры по-

требителей

2

Семья

Члены семьи

Муж

Жена

Предки

Потомки

Другие родственни-

ки

Имущество семьи

Общее жилье и хо-

зяйство. Личная соб-

ственность членов

семьи

3

Отопительная система жилого дома Источники тепла

Котельная или отвод

от центральной

теплотрассы

Подсистема распре-

Трубы

деления и доставки

Калориферы

тепла

Вентили

Подсистема экс-

Службы эксплуата-

плуатации

ции и ремонта.

Персонал

Рис. 3.4

Построение модели состава системы кажется простым делом, но это

не так, и причина состоит в следующем:

1. Разные модели состава одной системы получаются вследствие того,

что понятие элементарности можно определить по-разному. То, что с одной

точки зрения является элементом, с другой оказывается подсистемой, подле-

жащей дальнейшему разделению.

2. Как и любая модель, модель состава является целевой, и для раз-

личных целей один и тот же объект потребуется разбить на разные части. На-

пример, один и тот же завод для директора, бухгалтера, начальника пожарной

охраны состоит из совершенно различных подсистем.

3. Модели состава различаются потому, что всякое разделение целого

на части, всякое деление системы на подсистемы является относительным.

Например, тормозную систему автомобиля можно отнести либо к подсистеме

управления, либо к ходовой части. Таким образом, границы между подсисте-

62

мами условны. Это относится и к границам самой системы и окружающей

среды.

Модель структуры системы. Для достижения ряда целей недоста-

точно иметь представленные две модели системы. Необходимо еще устано-

вить между элементами связи − отношения. Совокупность необходимых и

достаточных для достижения цели отношений между элементами называется

структурой системы.

Перечень связей между элементами (т.е. структура системы) является

абстрактной моделью: установлены только отношения между элементами, но

не рассмотрены сами элементы. Когда мы рассматриваем некоторую сово-

купность объектов как систему, то из всех отношений важными, т.е. сущест-

венными для достижения цели, являются лишь некоторые. Например, при

расчете механизма не учитываются силы взаимного притяжения его деталей,

хотя, согласно законам всемирного тяготения, такие силы объективно суще-

ствуют. Зато вес деталей (т.е. сила их притяжения к земле) учитывается обя-

зательно.

Структурная схема системы. Если мы объединим модели «черного

ящика», состава и структуры, то получим еще одну модель, которую будем

называть структурной схемой системы («белый ящик», «конструкция систе-

мы»). В структурной схеме указываются все элементы системы, все связи

между элементами внутри системы и связи определенных элементов с окру-

жающей средой (входы и выходы системы). Приведем пример структурной

схемы «синхронизируемые часы» (рис. 3.5).

5

4

Датчик времени

Индикатор

1

6

2

3

2

Эталон времени

Рис. 3.5

Элементы системы изображены в виде прямоугольников; связи 1-3

между элементами; вход 4 изображает поступление энергии извне; вход 5 со-

ответствует регулировке индикатора; выход 6 − показание часов.

Динамические модели системы. Рассмотренные выше модели ото-

бражают систему в некоторый момент времени и могут быть названы стати-

63

стическими моделями, что подчеркивает их неподвижный, как бы застывший

характер. Следующий шаг в исследовании систем состоит в том, чтобы по-

нять и описать, как система «работает», что происходит с ней самой и с ок-

ружающей средой в ходе реализации поставленной цели. Очевидно, и подход

к описанию и степень подробности описания происходящих процессов могут

быть различными. Однако общим при этом является то, что разрабатываемые

модели должны отражать поведение системы, описывать происходящее с те-

чением времени изменения, последовательность каких-то этапов, операций,

действий, причинно-следственные связи.

Системы, в которых происходят какие бы то ни было изменения со

временем, будем называть динамическими, а модели, отображающие эти из-

менения, − динамическими моделями систем.

Для разных объектов и систем разработано большое количество дина-

мических моделей, описывающих процессы с различной степенью детально-

сти: от самого общего понятия динамики, движения вообще, до формальных

математических моделей конкретных процессов типа уравнения движения в

механике или волновых уравнений в теории поля. Развитие модели происхо-

дит примерно в той последовательности, как это было изложено: от «черного

ящика» к «белому».

Функционирование и развитие. Уже на этапе «черного ящика» раз-

личают два типа динамики системы: ее функционирование и развитие. Под

функционированием подразумевают процессы, которые происходят в системе

(и окружающей среде), стабильно реализующие фиксированную цель (функ-

ционируют, например, часы, городской транспорт, школа, телевизор и т.д.).

Развитием называют то, что происходит с системой при изменении ее целей.

Характерной чертой развития является тот факт, что существующая структу-

ра перестает соответствовать новой цели и для обеспечения новой функции

приходится изменять структуру, а иногда и состав системы, перестраивать

всю систему.

Не следует считать, что система всегда находится либо в фазе разви-

тия, либо в состоянии функционирования. При реконструкции одного цеха

остальные функционируют, завод в целом развивается. Даже при коренной

перестройке системы какие-то элементы и даже подсистемы старой структу-

ры могут продолжать функционировать по-прежнему.

Следующий шаг в построении динамических моделей состоит в том,

чтобы конкретнее отобразить происходящие изменения. Это значит, что сле-

дует различать части, этапы происходящего процесса, рассматривать их

взаимосвязи. Иными словами, типы динамических моделей такие же, как и

статические, только элементы этих моделей имеют временной характер. На-

пример, динамический вариант «черного ящика» − указания начального

(«вход») и конечного («выход») состояний системы (например, как в пяти-

летнем плане). Модели состава соответствует перечень этапов в некоторой

упорядоченной последовательности действий. Динамический вариант «бело-

64

го ящика» − это подробное описание происходящего или планируемого про-

цесса. Например, на производстве широко используют так называемые сете-

вые графики − графы, имеющие сетевую структуру; их вершинами служат

выполняемые производственные операции, а ребра указывают, какие опера-

ции не могут начаться, пока не окончатся предыдущие. Здесь же некоторым

образом (задание длин или весов ребер) изображается длительность выполне-

ния операций, что и позволяет находить на графе «критические» пути, т.е. по-

следовательность операций, от которых главным образом зависит ритмич-

ность всей работы.

Типы динамических моделей. Те же типы моделей прослеживаются

и при более глубокой формализации динамических моделей. При математи-

ческом моделировании некоторого процесса его конкретная реализация опи-

сывается в виде соответствия между элементами множества Х возможных

«значений» х и элементов упорядоченного множества Т «моментов времени»

t, т.е. в виде отображения Т→Х: х(t)ЄХт, tЄT. С помощью этих понятий мож-

но строить математические модели.

Рассматривая выход y(t) системы (это может быть вектор) как ее реак-

цию на управляемые u(t) и неуправляемые v(t) выходы x(t)= {u(t), v(t)} (рис.

3.6), можно модель «черного ящика» выразить как совокупность двух процес-

сов:

Хт ={x(t)} и Yт ={y(t)} , tЄХ.

Ошибка!

Рис. 3.6

Если даже считать y(t) результатом некоторого преобразования Ф про-

цесса х(t), т.е. y(t)= Ф(x(t)), то модель «черного ящика» предполагает, что это

преобразование неизвестно. В том же случае, когда мы имеем дело с «белым

ящиком», соответствие между входом и выходом можно описать тем или

иным способом. Какой именно способ − зависит от того, что нам известно, и в

какой форме можно использовать эти знания.

Например, иногда бывает известно, что система мгновенно преобразу-

ет вход в выход, т.е. что y(t) является функцией только x(t) в тот же момент

времени. Остается задать или найти эту функцию. На практике чаще всего из-

вестна лишь безынерционность системы и требуется, наблюдая входы и вы-

ходы, восстановить неизвестную функцию y=Ф(x). По существу, это задача о

переходе модели «черного ящика» к модели «белого ящика» по наблюдениям

65

входов и выходов при наличии информации о безынерционности системы.

Даже в такой достаточно простой постановке задача имеет совсем не простые

варианты, которые зависят от того, что известно о функции Ф (в параметри-

зованном случае Ф принадлежит семейству функций, известных с точностью

до параметров; в непараметризованном вид функции Ф неизвестен), и от на-

личия или отсутствия некоторых общий сведений о ее свойствах (непрерыв-

ности, монотонности, симметричности и т.д.). Дополнительные варианты (и

дополнительные трудности) возникают, если входы или выходы наблюдают-

ся с помехами и искажениями. При этом разные предположения о природе

этих помех приводят к принципиально отличающимся решениям задачи.

Однако класс систем, которые можно считать безынерционными,

весьма узок. Необходимо строить математические модели систем, выход ко-

торых определяется не только значением входа в данный момент времени, но

и теми значениями, которые были на входе в предыдущие моменты.

Все указанные типы моделей являются формальными, относящимся к

любым системам, и следовательно, не относящиеся ни к одной конкретной

системе. Чтобы получить модель заданной системы, нужно придать формаль-

ной модели конкретное содержание. Это относится как к статическим систе-

мам, так и к динамическим (рис. 3.7).

Черный ящик

Состав

Структура

Вход: начальное состоя- Перечень действий, не-

Последовательность

ние

обходимых для перевода действий и продолжи-

Выход: конечное со-

начального состояния в

тельность каждого дей-

стояние

конечное

ствия

Сетевой график всего процесса

Структурная схема

Рис. 3.7