2.2 Методы формализованного представления систем

Классификация МФПС. Рассмотрим классификацию Ф.Е. Темникова,

в которой выделяются следующие обобщенные группы (классы) методов:

а) аналитические (методы классической математики, включая инте-

гральное и дифференциальное исчисления, методы поиска экстремумов

функций, вариационное исчисление и т.д.; методы математического програм-

мирования; методы теории игр);

б) статистические (включающие теорию вероятностей, математиче-

скую статистику и направления прикладной математики, использующие сто-

хастические представления - теорию массового обслуживания, методы стати-

стических испытаний (основанные на методе Монте-Карло), методы выдви-

жения и проверки статистических гипотез А. Вальда и другие методы стати-

стического имитационного моделирования);

в) теоретико-множественые, логические, лингвистические, семиоти-

ческие представления (методы дискретной математики), составляющие теоре-

тическую основу разработки языков моделирования, автоматизации проекти-

рования, информационно-поисковых языков;

г) графические (включающие теорию графов и разного рода графиче-

ские представления информации типа диаграмм, гистограмм и других графи-

ков).

Кратко характеризуем эти методы.

1. Аналитические методы. Аналитическими в рас-

сматриваемой классификации названы методы, которые

Sx

отображают реальные объекты и процессы в виде точек, со-

вершающих какие-либо перемещения в пространстве или

взаимодействующих между собой. Эта способность анали-

тических представлений иллюстрируется символьным обра-

зом, преобразования сложной системы в точку, совершаю-

Ф[Sx]

щую какое-то движение (или обладающую каким-то пове-

дением), посредством оператора (функции, функционала)

Рис. 2.2

Ф[Sx] (рис. 2.2). Как правило, поведение точек, их взаимо-

действие описывается строгими соотношениями, имеющими силу закона.

Основу понятийного (терминологического) аппарата этих представлений

составляют понятия классической математики (величина, формула, функция,

уравнение, система уравнений, логарифм, дифференциал, интеграл и т.д.).

На базе аналитических представлений возникли и развиваются мате-

матические теории различной сложности − от аппарата классического мате-

матического анализа (методов исследования функций, их вида, способов

представления, поиска экстремумов функций и т.д.) до таких разделов совре-

менной математики, как математическое программирование (линейное, нели-

нейное, динамическое и т.д.), теория игр (матричные игры с чистыми страте-

гиями, дифференциальные игры и т.д.).

40

Большинство из направлений математики не содержит средств поста-

новки задачи и доказательства адекватности модели. Последняя доказывается

экспериментально, но это дорого и не всегда бесспорно и реализуемо.

Математическое же программирование содержит средства постановки

задачи и расширяет возможности доказательства адекватности моделей. Идея

эта была предложена лауреатом государственной и нобелевской премий Л.В.

Канторовичем для решения экономических задач.

Привлекательность методов математического программирования для

решения слабоформализованных задач (планирования, распределения работ и

ресурсов, загрузки оборудования и т.д.) объясняется рядом особенностей, от-

личающих эти методы от методов классической математики.

Рассмотрим упрощенный пример. Предположим, что в трех цехах (Ц1,

Ц2, Ц3) изготавливаются два вида изделий И1 и И2. Известны загрузка каж-

дого цеха аi (оцениваемая в данном случае в процентах) при изготовлении

каждого из изделий и прибыль (цена, объем реализуемой продукции в руб-

лях) сi от реализации изделий. Требуется определить, сколько изделий каждо-

го вида следует производить при возможно более полной загрузке цехов, что-

бы получить за рассматриваемый плановый период максимальную прибыль

или максимальный объем реализуемой продукции. Такую ситуацию удобно

отобразить таблицей, которая подсказывает характерную для задач математи-

ческого программирования форму представления задачи, т.е. целевую функ-

цию (в данном случае определяющую максимальную прибыль или объем

реализуемой продукции)

n

F =

∑c x = 240⋅ x + 320⋅ x → max

i i

i

2

i=1

и ряд ограничений (в данном случае диктуется возможностями цехов, т.е. их

предельной 100%-ной загрузки)

5x1+4x2≤100;

n

1,6x1+6,4x2≤100,

или ∑a < B ∑;

ij

j

i=1

2,9x1+5,8x2≤100.

Изделия

Цех (участок)

Цена изделия

Ц1

Ц2

Ц3

И1 5%

1,6%

2,9% 240

руб

И2 4%

6,4%

5,8% 320

руб

максимальная за-

100% 100% 100%

грузка

41

В общем случае может быть несколько групп ограничений (по имею-

щимся материалам разной группы, себестоимости, заработной платы рабочих

и т.д.).

Ограничения определяют область допустимых решений. Здесь можно

использовать наиболее простой метод решения задачи. В случае большого

числа разнородных ограничений используются специальные методы (сим-

плекс-метод, пакеты прикладных задач).

Основные особенности математического программирования:

− Введение целевой функции и ограничений и ориентация на их фор-

мирование являются фактически некоторыми средствами постановки задачи.

− При использовании методов математического программирования

появляется возможность объединения в единой модели разнородных крите-

риев (разных размерностей, предельных значений).

− Модель математического программирования допускает выход на

границу области определения переменных.

− Позволяет получить пошаговый алгоритм решения задачи.

2. Статистические представления. Сформировались как самостоя-

тельное научное направление в середине XX века. Основу их составляет ото-

бражение явлений и процессов с помощью случайных ( стохастических) со-

бытий и их поведений, которые описываются соответствующими вероятност-

ными ( стохастическими) характеристиками и статистическими закономер-

ностями.

Термин «стохастические» уточняет понятие «случайный», которое в

обыденном смысле принято связывать с отсутствием причин появления собы-

тий, с появлением не только повторяющихся и подчи-

Sx

няющихся каким-то закономерностям, но и единичных со-

бытий; процессы же, отображаемые статистическими за-

кономерностями, должны быть жестко связаны с заранее

Ф[Sx]

заданными, определенными причинами, а «случайность»

a

b

означает, что они могут появиться или не появиться при

Рис. 2.3

наличии заданного комплекса причин. Статистические

отображения системы в общем случае можно представить как бы в виде

«размытой» точки (размытой области) в n-мерном пространстве, в которую

переводит систему оператор Ф[Sx] (рис. 2.3). «Размытую» точку следует по-

нимать как некоторую область, характеризующую движение системы (ее по-

ведение); при этом границы области заданы с некоторой вероятностью Р

(«размыты») и движение точки описывается некоторой случайной функцией.

Закрепляя все параметры этой области, кроме одного, можно получить

срез по линии аb, смысл которого – воздействие данного параметра на пове-

дение системы, что можно описать статистическим распределением по этому

параметру. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т.д. кар-

тины статистического распределения.

42

На базе статистических представлений развивается ряд математиче-

ских теорий: математическая статистика, объединяющая различные мето-

ды статистического анализа (регрессионный, дисперсионный, корреляцион-

ный, факторный и т.д.); теория статистических испытаний, основой кото-

рой является метод Монте-Карло, а развитием – теория статистического ими-

тационного моделирования; теория выдвижения и проверки статистических

гипотез, возникшая для оценки процессов передачи сигналов на расстоянии.

Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов

по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при

применении статистических представлений процесс постановки задачи как

бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не

выявляя все детерминированные связи между изучаемыми объектами (собы-

тиями) или учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выбо-

рочного исследования (исследования репрезентативной выборки) получать

статистические закономерности и распространять их на поведение системы в

целом.

Однако не всегда можно получить статистические закономерности, не

всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана право-

мерность применения статистических закономерностей. В таких случаях це-

лесообразно обратиться к методам, объединенным под общим названием –

методы дискретной математики, на которой базируются теоретико-

множественные, логические, лингвистические или графические методы.

3. Теоретико-множественные представления. Теоретико-множест-

венные представления базируются на понятиях множество, элементы множе-

ства, отношения на множествах, предложены Г. Кантором.

Сложную систему можно отобразить в виде совокупности разнород-

ных множеств и отношений между ними (рис. 2.4). Множества могут зада-

ваться двумя способами: перечислением элементов {a1 ,

Sx

a2 , … , an } и названием характеристического свойства

(именем, отражающим это свойство, например, множест-

во А или множество планет солнечной системы, множе-

Ф[Sx]

ство рабочих данного завода и т.д.). В основе большин-

p

k

г

ства теоретико-множественных преобразований лежит

а

в

переход от одного способа задания множества к другому.

Рис. 2.4

В множестве могут быть выделены подмножества (см.

определение системы).

Из двух и более множеств или подмножеств можно, установив отно-

шения между их элементами, сформировать новое множество, состоящее из

элементов исходных множеств (при таком преобразовании у элементов ново-

го множества как бы появляется иной смысл по сравнению с исходным). Тео-

ретико-множественные представления допускают введение любых отноше-

ний. При конкретизации применяемых отношений и правил их использования

43

можно получить одну из алгебр логики, один из формальных языков матема-

тической лингвистики, создать язык моделирования сложных систем, кото-

рый затем, получив соответствующее название, может развиваться как само-

стоятельное научное направление.

Благодаря тому что при теоретико-множественных представлениях

систем и процессов в них можно вводить любые отношения, эти представле-

ния:

а) служат хорошим языком, с помощью которого облегчается взаимо-

понимание между представителями различных областей знаний;

б) могут являться основой для возникновения новых научных направ-

лений для создания языков моделирования.

Теоретико-множественные представления являются основой матема-

тической теории систем М. Месаровича. Однако свобода введения любых от-

ношений приводит к тому, что в создаваемых языках моделирования трудно

ввести правила, закономерности, используя которые формально, можно полу-

чить новые результаты, адекватные реальным моделируемым объектам и

процессам. В общем же случае в языке могут появляться ситуации парадок-

сов или антиномий, что приводит к необходимости ограничения разнообразия

отношений в создаваемых языках.

Конкретная система при первоначальном описании может быть отраже-

на теоретико-множественной формулой, включающей наборы различных эле-

ментов, отношений между ними, которые также могут быть разделены на под-

множества, свойства элементов и свойства отношений. Далее могут быть учте-

ны множества входных воздействий и выходных результатов. Формула может

измениться и отразить взаимоотношения между группами множеств и т.д.

4. Математическая логика. Логические представления переводят ре-

альную систему и отношения в ней на язык одой из алгебр логики (двузнач-

ной, многозначной), основанных на применении алгебраических методов для

выражения законов формальной логики (рис. 2.5). Наибольшее распростране-

ние получила бинарная алгебра логики Буля (булева алгебра).

Алгебра логики оперируется понятиями: высказывание, предикат, ло-

гические операции (логические функции, кванторы). В ней

Sx

доказываются теоремы, приобретающие затем силу логи-

ческих законов, применяя которые, можно преобразовать

Ф[Sx]

систему из одного описания в другое с целью ее совершен-

ствования, например, получить более простую структуру

(схему), содержащую меньшее число состояний, элемен-

тов, но осуществляющую требуемые функции. Теоремы

доказываются и используются в рамках формального логи-

Рис. 2.5

ческого базиса, который определяется совокупностью спе-

циальных правил.

Логические методы представления систем относятся к детерминист-

ским, хотя возможно и их расширение в сторону вероятностных оценок.

44

На базе математической логики созданы и развиваются теории логиче-

ского анализа и синтеза, теория автоматов. На основе логических представле-

ний первоначально начинали развиваться некоторые разделы теории фор-

мальных языков.

В силу ограниченности смысловыражающих возможностей бинарной

алгебры логики в последнее время имеются попытки создания многозначных

алгебр логики с соответствующими логическими базисами и теоремами.

Применяются логические методы при исследовании новых структур

систем разнообразной природы (технических объектов, текстов и т.д.), в ко-

торых характер взаимодействия между элементами еще не на столько ясен,

чтобы было возможно их представление аналитическими методами, а стати-

стические исследования либо затруднены, либо не привели к выявлению ус-

тойчивых закономерностей. В то же время следует иметь в виду, что с помо-

щью логических алгоритмов можно описывать не любые отношения, а лишь

те, которые предусмотрены законами алгебры логики и подчиняются требо-

ваниям логического базиса.

Логические представления нашли широкое практическое применение

при исследовании и разработке автоматов, автоматических систем контроля, а

также при решении задач распознавания образов и в экспертных системах.

Логические представления лежат в основе теории алгоритмов. На их базе раз-

виваются прикладные разделы теории формальных языков. В то же время

смысловыражающие возможности логических методов ограничены базисом и

функциями алгебры логики и не всегда позволяют адекватно отобразить ре-

альную проблемную ситуацию.

5. Лингвистические, семиотические представления. Лингвистиче-

ские представления (рис. 2.6) базируются на понятиях тезауруса Т (множест-

во смысловыражающих элементов языка с заданными смы-

Sx

словыми отношениями; тезаурус характеризует структуру

языка), грамматики G (правил образования смысловыра-

Ф[Sx]

жающих элементов разных уровней тезауруса), семантики

ТG

(смыслового содержания формируемых фраз, предложений и

других смысловыражающих элементов) и прагматики (смыс-

Рис. 2.6

ла для данной задачи, цели).

Семиотические представления базируются на понятиях: знак, знаковая

система, знаковая ситуация. Семиотика возникла как наука о знаках в широ-

ком смысле. Однако наиболее широкое практическое применение нашло на-

правление лингвистической семиотики, которое, наряду с основными поня-

тиями семиотики (знак, знаковая система, треугольник Фреге и т.д.) широко

пользуется некоторыми понятиями математической лингвистики (тезаурус,

грамматика и т.д.). С теоретической точки зрения, границу между лингвисти-

ческими и семиотическими представлениями при разработке языков модели-

рования можно определить характером правил грамматики (если правила не

охватывают классификацией правил вывода формальных грамматик Н. Хом-

45

ского, то модель удобнее отнести к семиотической и применять принципы ее

анализа, предлагаемые семиотикой). Для практических приложений модели

лингвистических и семиотических представлений можно рассматривать как

один класс методов формализованного представления систем.

Лингвистические и семиотические представления возникли и разви-

ваются в связи с потребностями анализа текстов и языков. Однако в послед-

нее время эти представления начинают широко применяться для отображения

и анализа процессов в сложных системах в тех случаях, когда не удается при-

менить сразу аналитические, статистические представления или методы фор-

мальной логики.

В частности, такие представления являются удобным аппаратом для

первого этапа постепенной формализации задач принятия решений в плохо-

формализуемых ситуациях. На их основе разрабатывают языки моделирова-

ния, автоматизации проектирования и т.д.

Что касается недостатков методов, то при усложнении языка модели-

рования, при применении правил произвольных грамматик Хомского или

правил лингвистической семиотики трудно гарантировать правильность по-

лучаемых результатов, возникают проблемы алгоритмической разрешимости,

возможно появление парадоксов.

6. Графические представления. К графическим представлениям (рис.

2.7) отнесены любые графики (графики Ганта, диаграммы, гистограммы и т.д.)

и возникшие на основе графических отображений теории

Sx

(теория графов, теория сетевого планирования и управления и

т.д.), т.е. все то, что позволяет наглядно представить процес-

сы, происходящие в системах, и облегчить таким образом их

Ф[Sx]

анализ для человека (лица, принимающего решения).

Графические представления являются удобным сред-

Рис. 2.7

ством исследования структур и процессов в сложных систе-

мах и решения различного рода организационных вопросов в

информационно-управляющих комплексах, в которых необходимо взаимо-

действие человека и технических устройств.

Широкое применение на практике получила теория сетевого планиро-

вания и управления.