Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Самарская государственная сельскохозяйственная академия»

Расчетно-графическая работа по математической статистике.

Вариант 11

Выполнила: Клименко Д

Проверила: Бунтова Е. В.

2011-2012

1. По заданной выборке Х составила статистический ряд распределения.

ni	51	54	56	57	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68
xi	1	1	1	1	1	1	2	4	2	2	7	4	3	8
ni	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82
xi	3	5	5	4	7	7	3	2	2	3	6	2	4	3
ni	83	87	88	90	91
xi	1	1	1	1	1

∑n_i = 100

2. Нашла точечные оценки параметров распределения.

Среднее выборочное X = ∑n_i x_i /n

X = 51+54+56+57+58+59+122+248+126+128+455+264+201+544+

207+350+355+288+511+518+225+152+154+234+474+160+324+246+83+87+90+91/100 = 69, 5 70

Дисперсия σ²= ∑(X_i –X )² n_i / n

σ ² = 361+256+196+169+144+121+162+256+98+72+175+64+27+

32+3+5+16+63+112+75+72+98+192+486+200+484+432+169+289+324+400+441=59,98 60

Среднее квадратическое отклонение σ= σ² σ= 59,98=7,745

Исправленная дисперсия S² = ∑n_i( x_i –x)²/n-1

S² = 5998/99=60,586

Исправленное СКО S = 60,586 = 7,784

Мода М_о= 68

Медиана М_е = 71

Коэффициент вариации v= σ/x *100= 7,745/60*100= 12,91%˂33% - выборка однородна.

Среднее абсолютное отклонение Ө= ∑n_i(x_i-x)/n

Ө=9+6+4+3+2+1+2+8+6+8+35+24+21+64+27+50+55+48+91+98+45+32+34+54+114+40+84+66+23+27+28+30+31/100=11,7

3. Нашла интервальные оценки параметров распределения.

Для математического ожидания

x-(tσ/ n) ˂ a ˃x+(tσ/ n)

где n=100 x=70 σ=7,745

y = 2Ф(t) где y =0,99

Ф(t)= 0,99=˃ t =2,58

70-(2,58*7,745/100)˂a˃70+(2,58*7,745/100)

68˂a˃72

Интервал для СКО

S(1-q)˂σ˃S(1+q)

7,784(1-0,198)˂σ˃7,784(1+0,198)

6,24˂σ˃9,33

4. Построила интервальный статистический ряд распределения по эмпирическим данным выборки

Нашла шаг h˂S/2˂7,784/2˂3,892 взяла шаг h =4

Определила х_нач: х_нач=х_мин –h/2=51-4/2=49

Последний интервал включает в себя х_max

Xi	Xi+1	ni	ni/n	ni/nнак
49	53	1	0,01	0,01
53	57	3	0,03	0,04
57	61	4	0,04	0,08
61	65	15	0,15	0,23
65	69	18	0,18	0,41
69	73	21	0,21	0,62
73	77	14	0,14	0,76
77	81	15	0,15	0,91
81	85	4	0,04	0,95
85	89	2	0,02	0,97
89	93	3	0,03	1

5. По выстроенному интервальному статистическому ряду и эмпирическим относительным частотам построила график, который определяет вид функции плотности распределения относительных частот.

6. Нашла выравнивающие (теоретические) частоты . Для этого составила вспомогательную таблицу.

Xi	Xi+1	Xi	Zi	ⱷ(zi)	niT	niT/n	niT/nнак
49	53	51	-2,39	0,0229	1,182	0,01182	0,01182
53	57	55	-1,87	0,0694	3,581	0,0358	0,04763
57	61	59	1,35	0,1604	8,277	0,08277	0,1304
61	65	63	0,84	0,2803	14,463	0,14463	0,27503
65	69	67	0,32	0,3790	19,556	0,19556	0,47059
69	73	71	0,19	0,3978	20,217	0,20217	0,67276
73	77	75	0,71	0,3110	16,001	0,16001	0,83277
77	81	79	1,23	0,1895	9,778	0,09778	0,93055
81	85	83	1,74	0,0878	4,530	0,04530	0,97585
85	89	87	2,26	0,0310	1,690	0,01690	0,99185
89	93	91	2,77	0,0086	0,444	0,00444	0,99629

Где z_i =x_i –x /σ - середина интервала, ⱷ(z_i) – функция Лапласа, n^T_i=n h/σ*ⱷ(z_i) – теоретические частоты

По выстроенному интервальному статистическому ряду и выравнивающим относительным частотам построила график, определяющий вид функции плотности распределения выравнивающих относительных частот.

Построенные графики относительных частот дают возможность выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины Н₀: случайная величина Х распределена по нормальному закону с а=69 и σ= 8

7. С помощью критерия Пирсона проверила правильность выдвинутой гипотезы.Н0

Согласно критерию необходимо найти χ² =∑(n_i-n_i^T)²/n_i^T

ni	1	3	4	15	18	21	14	15	4	2	3
niT	1,18	3,58	8,28	14,45	19,56	20,22	16	9,77	4,53	1,6	0,44

Объединила интервалы n_i˂5

ni	8	15	18	21	14	15	9
niT	13,04	14,46	19,56	20,22	16,00	9,77	6,57

Рассчитала χ²=1,948+0,020+0,124+0,030+0,25+0,535+0,899=3,806

k= 7-3=5

χ²_кр=9,5

так как χ²_наиб˂χ²_кр то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

8. Проверяю выдвинутую гипотезу с помощью критерия Колмогорова.

D= max ( F(x)- F*(x))

Построила вспомогательную таблицу

ni	1	3	4	15	18	21	14	15	4	2	3
niT	1,18	3,58	8,28	14,46	19,56	20,22	16	9,77	4,53	1,6	0,44
ni-niT/ni	0,18	0,19	1,07	0,04	0,09	0,04	0,14	0,35	0,13	0,20	0,85

D_эмп=max (n_i -n_i^T/n_in)

D_змп= 1,07/100=0,0107

D_кр=λ/ n

D_кр=1,358/10=0,1358

Так как D_эмп˂ D_кр то нулевую гипотезу принимаю.

1. По заданной выборки y составила статистический ряд распределения.

ni	36	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54
yi	1	1	4	1	3	6	4	5	5	3	6	11	4	9
ni	55	56	57	58	59	60	62	63	64	65	66	71
yi	3	7	3	5	6	7	1	1	1	1	1	1

∑n_i = 100

2. Нашла точечные оценки параметров распределения.

Среднее выборочное y = ∑n_i x_i /n

y = 36+42+172+44+135+276+188+240+245+150+306+572+212

+486+165+392+171+290+354+420+62+63+64+65+66+71/100=52,22 52

Дисперсия σ²= ∑(X_i –X )² n_i / n

σ ² = 100+81+64+49+36+25+16+9+4+1+1+4+9+16+25+36+49+72+100+121+144+169+196+361/100=16,88

Среднее квадратическое отклонение σ= σ² σ= 16,88 4,109

Исправленная дисперсия S² = ∑n_i( x_i –x)²/n-1

S² = 100+324+64+147+216+100+80+45+12+6+4+36+27+112+

75+180+294+448+10+121+144+169+196+36/99= 33,949 Исправленное СКО S = 33,949 5,827

Мода М_о= 52

Медиана М_е = 53,5

Коэффициент вариации v= σ/x *100= 4,109/52*100=7,90%˂33% - выборка однородна.

Среднее абсолютное отклонение Ө= ∑n_i(x_i-x)/n

Ө=16+36+8+10+21+36+20+20+15+6+6+4+18+9+28+15+30+42+56+10+11+12+13+14+19/100=4,75

3. Нашла интервальные оценки параметров распределения.

Для математического ожидания

y-(tσ/ n) ˂ a ˃y+(tσ/ n)

где n=100 x=70 σ=4,109

y = 2Ф(t) где y =0,99

Ф(t)= 0,99=˃ t =2,46

52-(2,46*4,109/100)˂a˃52+(2,46*4,109/100)

51˂a˃53

Интервал для СКО

S(1-q)˂σ˃S(1+q)

4,109(1-0,198)˂σ˃4,109(1+0,198)

4,67˂σ˃6,98

4. Построила интервальный статистический ряд распределения по эмпирическим данным выборки

Нашла шаг h˂S/2˂5,827/2˂2,913 взяла шаг h =3

Определила y_нач: y_нач=y_мин –h/2=36-3/2=34,5

Последний интервал включает в себя х_max

yi	yi+1	ni	ni/n	ni/nнак
35	38	1	0,01	0,01
38	41	0	0	0,01
41	44	6	0,06	0,07
44	47	13	0,13	0,2
47	50	13	0,13	0,23
50	53	21	0,21	0,44
53	56	19	0,19	0,58
56	59	14	0,14	0,66
59	62	8	0,08	0,69
62	65	3	0,03	0,72
65	68	1	0,01	0,73
68	71	1	0,01	0,74

5. По выстроенному интервальному статистическому ряду и эмпирическим относительным частотам построила график, который определяет вид функции плотности распределения относительных частот.

6. Нашла выравнивающие (теоретические) частоты . Для этого составила вспомогательную таблицу.

yi	yi+1	yi	Zi	ⱷ(zi)	niT	niT/n	niT/nнак
35	38	36,5	-3,77	0,0003	0,219	0,00219	0,00219
38	41	39,5	-3,04	0,004	0,292	0,00929	0,01148
41	44	42,5	-2,31	0,0283	2,066	0,0266	0,03808
44	47	45,5	-1,58	0,1145	8,359	0,08359	0,12167
47	50	48,5	-0,85	0,2780	20,294	0,20294	0,32461
50	53	51,5	-0,12	0,3965	28,944	0,28944	0,61405
53	56	54,5	0,61	0,3332	24,324	0,24324	0,85729
56	59	57,5	1,34	0,1626	11,87	0,1187	0,97599
59	62	60,5	2,07	0,0468	3,416	0,03416	1,0115
62	65	63,5	2,80	0,0079	0,577	0,00577	1,01592
65	68	66,5	3,53	0,0008	0,058	0,00058	1,0165
68	71	69,5	4,26	0,0001	0,007	0,00007	1,01657

Где z_i =y_i –y /σ - середина интервала, ⱷ(z_i) – функция Лапласа, n^T_i=n h/σ*ⱷ(z_i) – теоретические частоты

По выстроенному интервальному статистическому ряду и выравнивающим относительным частотам построила график, определяющий вид функции плотности распределения выравнивающих относительных частот.

Построенные графики относительных частот дают возможность выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины Н₀: случайная величина Х распределена по нормальному закону с а=52 и σ= 4