1. Радиус-вектор – это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец этого вектора с какой-либо точкой. (Особенность радиус-вектора – это то, что начало этого вектора всегда лежит в начале координат).

2. Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей в пространстве (на плоскости аналагично):

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i , j , k соответственно:

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат: а=ОМ.

Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М1 , М2 и Мз. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда пр ха=|OM 1|, npya = |ОМ2|, прz а=|ОМз|. По определению суммы нескольких векторов находим а = ОМ 1 + M1N + NM.

А так как M 1N=OM 2 , NM =ОМз, то

а=ОМ 1 + ОМ 2 + ОМ3 (5.1)

Обозначим проекции вектора а=ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответственно через ах, ау и az, т.е. |OM 1| = ах,|ОМ2| = ау, |ОМ3| = аz. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

a=axi+ayj+azk (5.3)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ах, ау, az называются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Признак коллинеарности векторов:

Для коллинеарности вектора ненулевому вектору необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что

Билет № 5. Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина вектора, расстояние между двумя точками, вычисление косинуса угла между двумя векторами.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение 2ух векторов a и b обозначается символом ab (порядок записи множителей безразличен, т. е. ab=ba)

Если угол между векторами a и b обозначить , то их скалярное произведение можно выразить формулой .

Скалярное произведение aa называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом a².

Свойства скалярного произведения векторов:

Скалярное произведение в координатах:

Если то

Вычисление косинуса угла между двумя векторами:

Расстояние между двумя точками:

Для любых двух точек М₁ (х₁;у₁) и М₂ (х₂;у₂) плоскости расстояние d между ними выражается формулой:

Длина вектора:

Длина вектора – это расстояние между началом и концом вектора – модуль вектора.

Для нахождения длины вектора используется следующая формула:

, где - координаты вектора.

Билет №6. Векторное произведение

Векторным произведением вектора   на вектор   называется третий вектор   который обладает следующими свойствами:

1. Его длина равна 

2. Вектор   перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора   и 

3. Вектор   направлен так, что поворот от вектора   к вектору   осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора   (в этом случае, говорят, что тройка векторов  ,  и   – правая).

Векторное произведение обозначается квадратными скобками: 

Свойства векторного произведения:

• векторное произведение произвольного вектора на нулевой вектор равно нулевому вектору;

• векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулевому вектору;

• координаты векторного произведения   векторов   и   следующие 

• 

Билет №7. Общее уравнение прямой на плоскости и егое исследование. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов. Пучок прямых. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости и в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

1. Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом . Перенесем все слагаемые в левую часть и перепишем его в следующем виде:

(3.6) - общее уравнение прямой, где А и В не равны нулю одновременно, т.е. .

Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6):

1. Пусть . Тогда уравнение можно записать в виде: . Обозначим .

2. Если , , то получим (уравнение прямой с угловым коэффициентом);

3. Если , , то (уравнение прямой, проходящей через начало координат);

4. Если , , то (уравнение прямой, параллельной оси Оу);

5. Если , , то (уравнение оси Ох).

6. Пусть , . Тогда уравнение примет вид . Обозначим .

7. Если , то получим х=а (уравнение прямой, параллельной оси Оу);

8. Если , то (уравнение оси Оу).

Таким образом, при любых значениях коэффициентов А,В (не равных одновременно нулю) и С уравнение есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

y = kx + b, (1)

где k - угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, причем этот угол отсчитывается от оси Ox к прямой против часовой стрелки, b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b = 0 уравнение (1) имеет вид y = kx и соответствующая ему прямая проходит через начало координат.

3. Геометрический смысл коэффициентов:

Коэффициент k (угловой коэффициент) в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью x.

4. Пучок прямых.

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром в S.

Если и - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение , (1)

Где , - любые числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку S.

Более того, в уравнении (1) числа , всегда возможно подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида (1) называется уравнением пучка (с центром в S).

Если , то, деля обе части уравнения (1) на и полагая , получим

. (2)

Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром S, кроме той, которая соответствует , то есть кроме прямой .

5. Условие параллельности и перпендикулярности прямых:

Равенство коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности прямых. (к₁=к₂=к_n).

Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку. ( ).

6. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости и в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Билет №8. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости и в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.