2)Метод Крамера

Данный метод так же, как и матричный, применим только для систем линейных уравнений, у которых число неизвестных совпадает с числом уравнений. Метод Крамера основан на одноимённой теореме:

Система n  линейных уравнений с n неизвестными

основная матрица которой невырожденная, имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам

Билет №18. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о числе решений системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Теорема о совместности однородной системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Теорема: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

RgA = RgA│B.            

            Доказательство.

           Пусть система совместна, то есть существуют такие числа:

 х₁=α₁, х₂=α₂, …, х_n=α_n, что

                               

Вычтем из последнего столбца расширенной матрицы A│B ее первый столбец, умноженный на α₁, второй – на α₂, …, n-ый – умноженный на α_n, то есть из последнего столбца матрицы следует вычесть левые части равенств. Тогда получим матрицу

ранг которой в результате элементарных преобразований не изменится и r(C)=r(A│B). Но очевидно, r(C)=r(A) и, значит,r(A)=r (A│B)

  Метод Гаусса – метод последовательного исключения искомых неизвестных величин. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы D системы, матрицу А системы приводят к ступенчатому виду.

Билет №19. Линейное (векторное) пространство. Пространство Rⁿ и линейные операции в этом пространстве. Скалярное произведение n-мерных векторов. Косинус угла между m-мерными векторами.

Множество n-мерных векторов, для которых определены действия сложения, вычитания и умножения на число, называют n-мерным векторным пространством Rⁿ.

1. Сложение n-мерных векторов. Суммой двух n-мерных векторов является вектор, каждая координата которого равна сумме одноименных координат слагаемых векторов.

2. Разностью двух n-мерных векторов является вектор, каждая координата которого равна разности одноименных координат слагаемых векторов.

3. Произведением числа на n-мерный вектор называется вектор, каждая координата которого равна произведению этого числа на одноименную координату данного вектора.

4. Скалярным произведением векторов и в многомерном пространстве называется число

Величиной угла между ненулевыми n-мерными векторами и называется число :

Билет №20. Определение линейно зависимых и независимых векторов. Критерий линейной зависимости векторов в пространстве.

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Векторы называются линейно независимыми, если равенство возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части тривиальная.

Критерий: векторы являются линейно зависимыми, если один из векторов можно выразить через другие.

Билет №21. Базис линейного пространства. Примеры базисов пространства. Теорема о единственности разложении вектора линейного пространства по базису.

Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов. В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

Теорема:

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство: 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и  –базис  . Возьмем произвольный вектор  . Так как оба вектора   и  коллинеарные одной и той же прямой L, то  . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как  , то найдется (существует) такое число  , что   и тем самым мы получили разложение вектора   по базису   векторного пространства  .

   Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора   по базису   векторного пространства  :

 и  , где  . Тогда   и используя закон дистрибутивности, получаем:

                       .

Так как  , то из последнего равенства следует, что  , ч.т.д.

Билет №22. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристическое уравнение, соответствующее квадратной матрице.

Собственным числом а соответствующей матрицы А является решение характеристического уравнения: IА-аЕI = 0

Собственным вектором Х соответствующий собственному числу а матрицы А является решение равенства: (А - аЕ)Х = 0

Свойства собственных чисел квадратной матрицы:

1. Сумма собственных чисел матрицы А равна сумме ее диагональных элементов (следу этой матрицы).

2. Произведение собственных чисел матрицы А равно определителю этой матрицы.

3. Число отличных от нуля собственных чисел матрицы А равно ее рангу.

4. Если число а – собственное число невырожденной матрицы А, то 1/а – собственное число матрицы А^-1.

5. Если а – собственное число невырожденной матрицы А, то а^k – собственное число матрицы А^k при любом целом k>1

6. Квадратная матрица А и А^Т подобны.

7. Собственными числами диагональной матрицы являются числа, стоящие на ее главной диагонали.

8. Если все собственные числа матрицы А различны, V – матрица, столбцами которой являются собственные вектора матрицы А, соответствующие разным собственным числам этой матрицы, то матрица V^-1AV – диагональная матрица, подобная матрице А.

Свойства собственных векторов квадратной матрицы.

1. Собственные числа матриц А и А^Т совпадают.

2. Собственные значения подобных матриц совпадают.

3. Собственные векторы матрицы, соответствующие ее различным собственным числам, линейно независимы.

4. Если все собственные числа квадратной матрицы n-ого порядка различны, то соответсвтующие им собственные векторы образуют базис пространства Rⁿ.

5. Любая не равная нулевому вектору линейная комбинация собственных векторов данной матрицы, соответствующих одному и тому же собственному числу этой матрицы, также является собственным вектором данной матрицы.

6. Если число 1 есть собственное число неотрицательной матрицы а, то существует полуположительный собственный вектор Х соответствующий этому собственному числу.

Характеристическое уравнение соответствующее матрице: IA-aEI=0