Билет №1. Понятие геометрического вектора. Основные определения, связанные с этим понятием (длина вектора, равенство векторов, нуль-вектор, коллинеарные и компланарные векторы, орт вектора). Линейные операции с геометрическими векторами. Законы, которым удовлетворяют эти операции. Разность векторов. Коллинеарные векторы.

1. Геометрический вектор – это направленный отрезок прямой, т. е. отрезок, один из концов которого является началом, а другой – концом.

2. Длина вектора АВ – это длина отрезка АВ. (Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем). (обозначается модулем).

3. Равенство векторов. Векторы a и b равны, если они коллинеарные, одинаково направленные и имеют одинаковые длины. (2 вектора равны, если координаты, имеющие один и тот же номер, равны.)

4. Нуль-вектор – двухмерный вектор, координаты которого равны нулю. (Двухмерный вектор – упорядоченная пара чисел.) Вектор, у которого начало совпадает с концом.

Векторы a и b коллинеарные, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Любые два вектора и коллинеарны, если связаны соотношением , где - некоторое число.

5. Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.

6. Орт вектор – это единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна 1.

7. Линейные операции – это сложение и вычитание векторов, а также умножение вектора на число:

1. Сложение свободных векторов.

Суммой двух свободных векторов, таких, что начало вектора b приложено к вектору a, называется вектор с=a+b, который соединяет начало вектора a и конец вектора b.

Суммой двух свободных векторов, присоединенных к одному началу, называется вектор с, имеющий общее начало с векторами a и b и совпадают с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

2. Разность свободных векторов.

3. Умножение вектора на число. Произведением вектора на число называется вектор , определенный следующими условиями:

1. 

2. Вектор b коллинеарен вектору a

3. Векторы a и b одинаково направлены, если >0, и противоположно, если <0.

Разностью двух векторов и называется такой вектор , сумма которого с вычитаемым дает вектор . Значит, если , то .

8. Свойства линейных операций:

1. + = +

2. (a + b) + c = a + (b + c)

3. 

4. 

5. 

6. + 0 =

7. + (- ) = 0

8. 1 * =

Билет №2. Декартова и полярная системы координат на плоскости. Формулы, связывающие координаты точки в этих системах. Декартова система координат в пространстве. Деление отрезка в заданном соотношении.

1. Декартовая система координат – прямоугольная система координат. Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат на плоскости.

2. Полярная система координат состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из него луча ОЕ – полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков. Полярная система координат ставит соответствие каждой точке плоскости пару чисел (Ро и фи) –> А (Ро; Фи).

3. Формулы, связывающие координаты точки в этих системах:

Пару полярных координат r и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

x = rcos φ,

y = rsin φ,

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:

r² = y² + x² (по теореме Пифагора).

Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:

Для , может быть произвольным действительным числом.

Для , чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в 2π. Обычно выбирают интервал или .

Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями (arctg обозначает обратную функцию к тангенсу):

Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:

4. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

Билет №3.Деление отрезка в заданном соотношении.

Дан произвольный отрезок M1M2 и М- любая точка этого отрезка, отличная от точки М2.

Число λ- отношение, в котором точка М делит отрезок М1М2.

λ= М1М \ ММ2

Теорема:

Если точка М(x, y) делит отрезок M1M2 в отношении λ, то координаты этой точки определяются формулами:

X= x1+ λx2 \ 1+ λ

Y= y1+λy2 \ 1+λ

где x1, y1 - координаты точки М1,

x2, y2 - координаты точки М2 .

Доказательство:

Пусть прямая М1М2 не перпендикулярна оси OX. Опустим перпендикуляры из точки М1, М, М2 на ось OX и обозначим точки их пересечения с осью OX соответственно через P1, P, P2. На основании теоремы элементарной геометрии о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми, имеем

P1P \ PP2 = M1M \ MM2= λ

Но P1P= x-x1

PP2= x2-x

Так как числа (x-x1) и (x2-x ) одного и того же знака,

то |x-x1| \ |x2-x| = x-x1 \ x2-x.

Поэтому x-x1 \ x2-x = λ, откуда X= x1+ λx2 \ 1+ λ.

Аналогично получена формула и для Y.

Билет №4. Понятие радиус-вектора. Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве. Действия с геометрическими векторами в координатной форме. Признак коллинеарности векторов.