Билет 10

10.1 Пример использования simulink matlab для решения оду 2-го порядка. Билет 11

11.1 Методика получения модели механических колебательной системы сосредоточенными параметрами на основе уравнений Лагранжа 2-ого рода

Во многих случаях при моделировании механических систем приемлемы предположения о том, что масса системы сосредоточена лишь в конечном числе точек, соединенных между собой элементами типа пружин (элементы, накапливающие потенциальную энергию) и типа "демпфер" (элемент, рассеивающий энергию), в этом случае математическая модель, описывающая повеление рассматриваемой системы представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Рассмотрим следующий пример.

По гладкой плоскости без трения под действием внешней силы,

изменяющейся во времени по закону P(t), движутся два груза (рис.1).

Д ля построения математической модели следует воспользоваться уравнениями Лагранжа 2-го рода, которые приводят к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка [1].

З десь x₁(t) и x₂(t) - смещения относительно положения равновесия соответственно 1-й и 2-й массы;

- скорости смешений относительно положения равновесия соответственно 1-й и 2-й массы, где t - время;

Т - кинетическая энергия системы; П - потенциальная энергия системы.

В качестве 1 - й и 2- й степеней свободы примем x₁ и x_2.

Тогда уравнения примут вид:

Выполнение этого этапа базируется на использовании знаний курса теоретической механики. Подробности можно найти в книгах [1,2]. Результатом выполнения этого этапа являются уравнения. движения механической системы. Их подробный вывод следует привести в отчете.

Системы с рассредоточенными параметрами- в этой ситуации неизвестные величины(напр. Перемещение точек) являются уже функ-ми нескольких переменных. Поведение таких систем чаще всего описывается ДУЧП. Виды: 1)Метод граничных элементов 2)Метод конечных элементов 3) Метод сеток.

11.2 Разложение аппроксиматора по системы базисных функций.

Билет 12

12.1 Пример получения математической модели для двух массовой колебательной системы

q ₁ – линейное перемещение верхней массы

q₂ – нижней

q_1, q₂ – абсолютное перемещение (от земли)

- уровень земли

Выразим удлинение упругих элементов конструкции и Найдём:

12.2 Выполнение среднеквадратичного приближения на основе разложения аппроксиматора по системе базисных функций.

Билет 13

13.1 Пример получения уравнений, описывающих колебания мехонической системы при наличии вращательных степеней свободы.

q ₁- смещение корпуса автомобиля массой m₂ в вертикальном направлении относительно дороги

q₂ – угол поворота рамы автомобиля отсчитываемый от дороги относительно центра тяжести

q₃- перемещение массы m₁ отсчитываемое от рамы автомобиля

Выразим абсолютное перемещение абсолютные скорости и удлинения пружин и скорости удлинения демпферов. Будем при этом считать колебания малыми т.е. угол поворот q ₂ <<1.

13.2. Интегральная квадратичная аппроксимация на отрезке [a, b].

Часто оказывается, что измерения выполняются с погрешностью, которая зависит от точности измерительного прибора в этом случае требовать совпадения табличных данных с приближенной функцией неразумно. Тогда можно использовать приближение по методу наименьших квадратов.

(1)

Уравнение (1) представляет собой функцию-аппроксиматор.

Необходимо определить на интервале , а в качестве критерия близости выбираем:

(2)

(3)

Введем обозначения:

(4)

(5)

Если сравнить интегральную аппроксимацию с поточечной , то заметим, что суммирование по точкам заменено интегрированием по отрезку.