22.2 Эрмитов кубический сплайн.
2 Кубический сплайн дефекта 2 (или сплайн Эрмита).
Сплайн
на интервале
является кубическим полиномом
(2)
и на всем интервале имеет непрерывную производную.
Для определения коэффициентов в формуле (2) используем условие прохождения сплайна через узлы, то есть
(3)
Добавим к ним условия непрерывности в узлах:
(4)
где
- тангенс угла наклона сплайна.
Условия
(3) и (4) образуют систему линейных
дифференциальных уравнений относительно
коэффициентов
.
Если решить эту систему и подставить
значения коэффициентов в формулу (2),
то получим следующий вид:
(4)
где
- длина интервала, а
- полиномы Эрмита.
Как
видно из формулы (5) необходимо знать
кроме значений
и наклон в узле. В практических задачах
наклоны обычно неизвестны. В этом случае
поступают так: эти наклоны предварительно
вычисляют по формулам приближенного
дифференцирования.
Без вывода приведем формулы для вычисления этих наклонов. Во внутренних точках интервала формулы имеют вид:
(6)
где
Для крайних точек формулы имеют вид:
(7)
(8)
где
(9)
Алгоритм построения данного сплайна:
Проверить на какой из отрезков (xi, xi+1) попадает значение аргумента х. Если значение аргумента совпало с одной с одной из двух границ подинтервала, то значение сплайна равно табличному значению интерполируемой функции, в противном случае нужно вычислить значение безразмерной переменной t, вычислить значение эрмитовых функций. Если подинтервал является внутренним, то воспользоваться формулами 6 для приближённых вычислений наклонов на его концах. Если внешний, то для одного конца нужно исп. формулу 6, а для другого одну из формул 7, 8. И теперь по формуле 4 посчитать значение Эрмитова сплайна.
Билет 23
23.1 Метод стрельбы для решения граничных задач для оду.
Пусть
имеется ДУ 2-го порядка
(1)
-
неизвестная функция, являющаяся решением
ДУ(1), которая должна удовлетворять след
условиям в начальный и конечный момент
наблюдения t0
и
tк.
(2)
заданные
числа
Примером может служить выбор траектории полёта снаряда, выпущенного из орудия которое находится на заданной высоте. Ствол орудия наклонен так, что в конечный момент времени снаряд должен оказаться на другой заданной высоте.
Моменты t0 и tк являются границами интервала изменения независимой переменной, на котором нужно получить решение. Поэтому условие 2 задающее нужные значения решения для этих границ называется граничным условием. Соответственно задача 1 и 2 это граничная задача для ДУ.
Нужно заменить граничную задачу начальной.
(1)
(3)
Т.о. нужно подобрать угол наклона орудия (пристреляться) так, чтобы при tк высота на которой окажется снаряд была заданной. В этом и заключается идея метода пристрелки.
Граничные задачи это когда условия задаются на границах, например для левого конца балки задано перемещение на 1, а для правого угол поворота 45.
в отличие от других задач здесь условия задаются не только при х=0, но и при х=L.