6.2. Уравнения Колмогорова.

Пусть - вероятность того, что система находится в состоянии :

Задача моделирования такой СМО заключается в том, чтобы определить вероятности состояний , как функций от времени. Изобразим граф для отражения возможных переходов для систем:

Рис. Ориентированный граф переходов

Ориентированный граф состояний СМО.

Каждой дуге припишем значение вероятности перехода.

Рис. Ориентированный граф состояний

К составлению уравнений для k-ого состояния можно показать, что соответствующие уравнения для такого состояния будут выглядеть:

Получим систему уравнений первого порядка. Смысл коэффициента поясним на примерах. Эти уравнения должны быть дополнены нормирующими уравнениями для замыкания. Для рассмотренного установившегося процесса производной получится система нелинейных уравнений:

,

где означает, что система из состояния переходит в состояние .

Билет 7

7.1. Примеры систем, модель для которых описывается дифференциальными уравнениями.

Задача об определении изменения угла колебаний маятника.

Получить зависимость

l

Спроектируем силы на касательной к траектории движекния

F_ин =ma

m

(1)

Если малые колебания | | << 1, то

mg

(2)

1 и 2 – Обыкновенные дифферинциальные уравнения 2-го порядка.

Рассмотрим задачу об определении вида изогнутой оси балки

I(x)

Вид сверху

q(x)- распределенная нагрузка

Вид сбоку

y(x)

Пусть балка из материала с модулем Юнга E. Q(x) - непрерывная сила. М(x) – изгибающий момент.

y=y(x);

I(x) = I – const;

- обыкновенное дифферинциальное уравнение 4-го порядка

7.2. . Уравнения Колмогорова для замкнутых смо.

Рассмотрим системы массового обслуживания, в которых интенсивность потока поступающих заявок зависит от состояния самих систем. Такие системы массового обслуживания называются замкнутыми.

Пусть система состоит из п каналов обслуживания и т источников заявок, т>п.

Предположим, что каждый источник порождает простейший поток заявок с интен­сивностью , причем источник не может посылать следующую заявку до завершения обслуживания своей предыдущей заявки (в этом и выражается замкнутость данной системы). Предположим также, что каждый канал порождает простейший поток обслуженных заявок с интенсивностью . Все состояния данной системы можно разбить условно на три группы:

- "все каналы свободны",

- "ровно i каналов занято и поступило ровно i заявок", i = 1, ..., n,

- "все каналы заняты и ровно j-n заявок находятся в очереди для обслуживания", j = n + 1, ..., m.

Графически все возможные переходы из состояния в состояние, а также интенсивности потоков событий, под воздействием которых эти переходы возможны, можно изобразить в виде размеченного графа так, как это пока­зано на рис.2. Действительно, если система находится в состоянии i = 0, 1,..., n - 1, то в состояние "i+ 1 каналов занято" она может перейти под воздей­ствием суммарного потока заявок от m - i источников с интенсивностью ; из состояния в состояние "i- 1 каналов занято" она может перейти под воздействием суммарного потока обслуженных заявок, поступающего от i каналов обслуживания с интенсивно­стью .. Напомним, что i источников прекращают поставку заявок до завершения обслуживания своих последних заявок. Если же система находится в состоянии , j = n,...,m- 1, то в состояние она может перейти под воздействием суммарного потока заявок с интенсивностью , а в состояние — под воздействием сум­марного потока обслуженных заявок с интенсивностью , поступающего от n каналов обслуживания.

Рис. 2. Размеченный граф многоканальной замкнутой СМО

Составим на основе этого размеченного графа уравнения Колмогорова. Эти уравнения представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений, описывающую вероятности P_r(t) нахождения данной системы в состоянии S_r в момент времени t, r = 0, 1, ..., m :

Особый интерес представляют вероятности P_r(t) в предельном стационарном режиме, т. е. при , которые называются предельными вероятностями состояний системы.