29.2 Метод получения топологических уравнений математической модели.
Обычно используют так называемую М-матрицу, которую строят на основании ориентированного графа эквивалентной схемы.
Дерево – это подграф исходного графа, не имеющего циклов и содержащий все вершины. Хордой графа называется такая ветвь, которая не вошла в дерево графа. Процедура формирования М-матрицы состоит в следующем:
Каждая хорда графа поочередно включается в дерево. При этом образуется замкнутый контур.
Выполняется обход контура в направлении, указанном хордой.
В строке матрицы, соответствующей данной хорде, записывается «+1» в том столбце, который соответствует направлению ветви графа, если эта ветвь принадлежит контуру и ее направление соответствует направлению обхода контура. «-1» - если эта ветвь принадлежит контуру, но ее направление обратно соответствующему направлению обхода контура. «0» - если ветвь не принадлежит этому контуру.
Рис. Ориентированный граф
Один их узлов выбирается в качестве базового. Обычно это тот узел, к которому подключено наибольшее количество ветвей. Мы выберем в качестве базового узел 3.
Нарисуем М-матрицу, столбцами которой будут ветви дерева, а строками – хорды.
-
б
г
д
е
ж
а
-1
0
0
+1
-1
в
+1
+1
0
0
0
к
0
0
+1
0
0
и
0
-1
1
-1
0
При подключении хорды «а» образуется цикл «а-в-е-ж».
Запишем уравнения вида:
,
где индексы «вд» соответствуют векторам,
в которых собраны падения напряжения
на ветвях дерева:
Распишем векторно-матричные соотношения по векторной формуле:
Эти уравнения представляют собой выражения II закона Кирхгофа:
Билет 30
30.1 Топологические уравнения математической модели на основе матрицы инциденции.
30.2 Узловой метод построения математической модели системы.(30,1+30,2)
Этот метод получил широкое распространение при создании программных комплексов анализа динамических систем. В различных предметных областях он имеет разные названия. При моделировании механических упругих систем он называется методом перемещений; при моделировании электрических систем он называется методом узловых потенциалов и контурных токов.
В дальнейшем будем пользоваться
терминологией, характерной для
электрических подсистем. Будем
использовать для узловых базисных
координат перемещений типа узловых
потенциалов. В качестве топологических
уравнений используем уравнения Кирхгофа
I рода в виде:
,
где
- вектор переменных типа узлового
потенциала;
- вектор переменных типа тока.
Покажем, как могут быть получены эти уравнения на основе полученных ранее:
(1)
(2)
Введем в граф объектов фиктивные ветви, связывающие все узлы схемы с базовым узлом. Будем считать, что проводимости этих ветвей равны 0 и значит в этих ветвях токи отсутствуют. Очевидно, что полученное множество ветвей образует дерево.
Построим теперь так называемую матрицу инциденции без учета базового узла и сравним ее с М-матрицей. При этом учтем, что фиктивные ветви оказались деревом во вновь полученном графе.
Рис. Ориентированный граф
В соответствии с рассмотренным выше правилом, построим матрицу для этого графа:
М-матрица
-
к
л
м
о
н
р
а
1
0
0
0
0
0
б
-1
1
0
0
0
0
в
0
-1
1
0
0
0
г
0
-1
0
1
0
0
д
0
0
-1
1
0
0
е
0
0
-1
0
1
0
ж
0
0
0
-1
0
1
з
0
0
0
0
-1
1
и
0
0
0
0
-1
0
А – матрица инциденции
-
а
б
в
г
д
е
ж
з
и
1
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
-1
1
1
0
0
0
0
0
3
0
0
-1
0
1
1
0
0
0
4
0
0
0
-1
-1
0
1
0
0
5
0
0
0
0
0
-1
0
1
1
6
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
Сравнивая матрицы М и А, заметим, что
выполняется отношение:
(3). Для графа на рисунке введенные
фиктивные ветви являются ветвями дерева:
(токи
отсутствуют), а реальные ветви являются
хордами. Таким образом, второе из
топологических уравнений с учетом
примет вид:
(4)
- вектор токов в реальных ветвях графа.
Используя уравнение 1, можно получить уравнение, связывающее базовые переменные ( - потенциалы в небазовых узлах или точках, вектор разности потенциалов между небазовыми узлами и базовыми) с переменными разности потенциалов на реальных ветвях дерева.
,
-
разность потенциалов между i-ым
небазовым узлом и базовым.
(5)
Для того чтобы учесть компонентные
уравнения распределим ветви по их
природе на резисторные (ветви типа R)
,
емкостные (ветви типа C)
и индуктивные (ветви типа L)
.
В соответствии с этим разделением введем
подвекторы:
,
,
- токи;
,
,
- падения напряжений.
Очевидно, матрицу инциденции в соответствии
с этим разделением можно разбить на
подматрицы:
.
Будем теперь использовать диагональные
матрицы для задания параметров
соответствующих ветвей.
Покажем, как можно получить результирующие уравнения математической модели системы на примере следующей электрической схемы:
Рис. Ориентированный граф для электрической схемы
Построим матрицу инциденции для этого графа:
-
1
+1
0
0
0
+1
0
0
-1
2
0
+1
0
0
-1
0
0
0
3
0
-1
+1
0
0
+1
0
0
4
0
0
-1
+1
0
-1
+1
0
(6)
Добавим теперь к этим топологическим уравнениям компонентные:
(7)
(8)
(9)
Подставим (7), (8), (9) в (6), начинаем объединять компонентные уравнения с топологическими, в результате получим:
(11)
Как видно, (11) оказывается системой интегрально-дифференциальных уравнений. Покажем один из возможных способов сведения этой системы за счет дискретизации к системе алгебраических уравнений.
Используем для дискретного представления производной аппроксимацию Эйлера:
,
где h – шаг по времени.
Тогда компонентные уравнения модно переписать в виде:
(12)
Подставляя (12) в уравнение (10), получим:
(14)
Заметим, что от природы слагаемого
существенно зависит природа системы
(14):
Если
=const,
то (14) – это система линейных алгебраических
уравнений;Если
,
то (14) – это система нелинейных
алгебраических уравнений;В общем случае (14) – система нелинейных уравнений, которую нужно будет решать итерационными методами.
Последовательность этапов решения следующая:
По приведенной схеме электрической цепи сформировать матрицы
Написать процедуру, позволяющую для заданного шага по времени h, вычислить матрицу
.Считая, что написать соответствующую процедуру.
Написать процедуру формирования системы уравнений (14).
Для каждого момента по времени решить систему (14). В результате получится
.
С использованием равенства (5), вычислить
.Используя компонентные уравнения в дискретизованной форме, вычислить
.Результаты расчетов отобразить в виде графиков.
Замечание: Понятно, что для запуска расчета необходимо задать начальные условия:
.