26.2 Пример использования сплайнов для вычисления площади фигуры

Билет 27

27.1 Понятие о конкурирующих стратегиях

Рассмотрим след. ситуацию.

В начале дня на маршрут выходит автобус, он полностью исправен, при выполнении рейса может возникнуть незначительная поломка при этом эту поломку можно устранить но для этого придется пропустить рейс а можно авпустить автобус в рейс с незначительной поломкой но приэтом может возникнуть критическая поломка когда автобус не сможет выполнять рейсы до конца дня. Пусть вероятность маленькой поломки «a», а критической «b».

Предположим в день запланировано n рейсов и всего должно быть m дней. Возникает вопрос какая из стратегий эксплуатации автобуса окажется лучшей, в том смысле что средн кол-во рейсов в день будет больше.

Эти стратегии называются конкурирующими. Очевидно что подобную задачу можно сформулировать и для др. объектов, напр, для метеллообр станка. Впервые такая задача была сформулирована Крайзоном и Марзаном. С помощью сложных математических выкладок им удалось получить аналогичн решение этой задачи. Однако при небольшом усложнении условий или др формулир стратегий получать аналогичные решения практически не удается. В тоже время козе понятно что можно легко сформулир алгоритм и составить соотв прогр для моделирования этих стратегий на компьютере.

– среднее число рейсов в день при первой стратегии

N – число запланированных рейсов

a – вер-ть незначительной поломки

– среднее число рейсов при 2-й стратегии

N –число запланированных рейсов

a – вероятность незначительной поломки

b – вероятность критической поломки

27.2 Параметрический сплайн для приближения кривых.

Этот сплайн представляет собой совокупность двух Эрмитовых сплайнов.

(7)

- производная по S от x(S) в точке S_i.

Для возможности вычисления по формуле (7) необходимо определить .

Поскольку в реальных задачах информация о наклонах обычно отсутствует, то, как и в случае обычного Эрмитова сплайна , заменим их приближенными значениями.

Поскольку точное значение параметра вычислить невозможно, то будем строить Эрмитов сплайн близкий к сплайну 7 в некотором смысле.

Во-первых, для описания сплайна введем параметризацию по суммарной длине хорд.

где

Во-вторых, точные значения производных заменим по приближенным разностным формам.

(8)

(9)

(10)

где

Эти формулы используются в том случае, если кривая не замкнута. Если кривая замкнута, то вместо формул 8 и 10 используем:

(11)

Рекомендации по выбору узлов:

1. Следует выбирать узлы так, чтобы (то есть, чтобы длины звеньев были практически одинаковы);

2. В точках излома кривой следует вводить по два близких узла. В этом случае будет снижена асцилляция кривой, заключающаяся в том, что сплайн сильно уклониться от истинной кривой.

Билет 28

28.1 Компонентные уравнения для различных видов подсистем.

Часто объекты состоят из элементов, которые можно сгруппировать по определенному признаку в описывающие их уравнения. Эти элементы имеют одинаковую природу и отличаются только параметрами. Например, для рассмотренных систем группами таких элементов могли быть упругие элементы (пружины), демпфирующие элементы и массивные элементы. Такое же выделение различных групп можно выполнить и для других типов систем – электрических, гидравлических, тепловых и т.п. Каждая группа элементов в математическом плане описывается одинаковыми по структуре уравнениями. Элементы же называются компонентами, а описывающие их поведение, уравнения – компонентными. Из таких элементов различной природы, как из кубиков, можно собрать систему. Таким образом, если несколько систем состоят из одинаковых типов элементов, то они отличаются друг от друга только способом соединения этих элементов между собой, т.е. структурой. Иногда говорят о топологии системы, понимая под этим структуру. Оказывается, что в математическом плане эту структуру можно описать соответствующими уравнениями, основанными на законах сохранения, в разных типах систем эти законы имеют разную физическую природу, а уравнения, реализующие эти законы, называются топологическими.

Рассмотрим примеры элементов и, описывающие эти элементы, уравнения на примере электрической подсистемы, описывающей поступательное движение.

1. Электрическая подсистема:

Элемент типа R (сопротивление). Его компонентное уравнение:

Элемент типа С (электрическая емкость). Его компонентное уравнение:

Элемент типа L (электрическая индуктивность). Его компонентное уравнение: