1) Приближенные вычисления функции

2) Численное интегрирование

Т.е. подинтегрированную функцию f(x) заменяют интерполяционным полиномом, а затем от него вычисляется определенный интеграл. Операция приближенного интегрирования основана на этом подходе достаточна точна.

Тоже справедливо и для функций заданных таблично:

3) Численное дифференцирование

К сожалению эта операция имеет приближенную точность:

4) Численное решение алгебраических и тангенциальных уравнений:

Пусть исходная функция f(x) задана аналитически на интервале [a,b] и её значения могут быть вычислены в нужных точках. Пусть f(x)=0 – корень этого уравнения уединен на интервале [a,b], тогда по значениям этой функции в узлах строят интерполяционный полином, находят его корень на этом интервале и считают, что он приблизительно равен корню уравнения на этом интервале.

Билет 21

21.1 Методы прогноза и коррекции для решения оду.

21.2 Понятие о сплайнах.

Термин сплайн появился следующим образом. При создании чертежей кораблей на английских верфях чертежники для того, чтобы провести плавную линю через заданные точки использовали тонкие гибкие рейки, подвешивая к ним грузы так, чтобы рейки прошли через систему точек. Эти рейки наз. сплайнами. Дадим определение сплайну. Функция называется сплайном степени n дефекта (n и - целые числа) если:

на каждом отрезке функция является полиномом степени n; функция на всем интервале имеет непрерывные производные порядка до (n - ) включительно. Рассмотрим сплайн 1-ой степени S₁(x). Он представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. На каждом из отрезков (x_i, x_i+1) он является полиномом 1-ой степени:

S₁ (x) = A₀+A₁∙x

ν=1, т.е. непрерывной производной он не имеет.

Уравнение сплайна:

S₁(x) = + ( ), x_{i i+1}

h_i =x_i+1 – x_i - шаг

Для построения этого сплайна требуется только таблица (x_i ,y_i). Вычисление этого сплайна можно выполнять по следующему алгоритму:

определение tg угла наклона:

tgα_i = =

и вычисляется S₁ (x)= +U_i ∙ (x – x_i ).

(x_i+1,y_i+1)

U_i(x-x_i)

(x_i,y_i) α

S₁(x)

y_i

x_i x x_i+1

Сплайн 1-ой степени относится к семейству локальных сплайнов, т.к. для его построения необходима информация только об ограничивающих данный участок узлах.

Билет 22

22.1 Понятие о жестких дифференциальных уравнениях.

Существует ситуации, когда в соответствии с физическим содержанием задачи в решении присутствует несколько составляющих, имеющих существенно различные временные const в том смысле, что одни составляющие быстро изменяются по сравнению с другими.

Видно, что во 2-ой зоне вклад в решение 2-ой и 3-ей составляющей незначителен. Но для того, чтобы правильно отследить эти составляющие в 1-ой зоне потребуется достаточно мелкий шаг на всем интервале наблюдения. Такие задачи накладывают жесткие ограничения на величину шага интегрирования.

Рассмотрим следующую систему уравнений:

Через небольшое время наблюдения:

Если попытаться решить эту задачу методом Эйлера:

h=0.01 t=t₀+h=0.01

u₁=1+0.01(998+1998) = 30.96

v₁=1+0.01(-999-1999) = -28.98

Если продолжить процесс интегрирования для следующих шагов, то расхождения окажутся еще больше. Этот пример показывает, что существуют задачи, для которых стандартные методы решения не подходят. Это пример жестких ДУ. Для решения этих задач разраб. специальные методы Гира И Пурлиж-Штерна.