2. Тригонометрическое интерполирование

Алгебраическая интерполяция в качестве базисных функций использует мономы. Если же интерполируемая функция является периодической, то уместно в качестве базисных функций выбирать периодические функции. Будем рассматривать ситуацию, когда f(x), которую следует приблизить является периодической на интервале [a,b]. Пусть узлы являются равностоящими, т.е.:

В качестве базисных функций используем: cos 0 x, sin 0 x, cos 1 x, sin 1 x,………cosk x, sink x.

Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполируемого полинома вида *(1) , удовлетворяющего условию: . Можно показать, что коэффициенты интерполяционного полинома

Удовлетворяют условию *(2) вычисленных по формулам:

Достаточно строгого класса функции, чтобы утверждать, что при увеличении N ошибка интерполирования стремится к нулю. Формулы *(4) можно распространять и на функции интерполирования на случаи периодической функции на отрезке [a,b] с периодом

Билет 20

1. Оценка погрешности решения оду. Способ Рунге для оценки такой погрешности.

Основная цель приближённых вычислений заключается в нахождении результата с заданной степенью точности. В частности для оценки точности решения ДУ можно использовать такие способы:

4. Проверка выполнения условия задачи (например данное численное решение можно подставить в само ДУ и сравнить расхождение с его правой частью)

5. Двойной пересчет по возможности другим методом

6. Применение упрощённой расчетной схемы и качественный анализ задачи.

Локальная погрешность тем меньше, чем меньше шаг, в то же время при большом количестве шагов суммарная погрешность может возрастать. Если же шаг увеличить хотя время решения задачи сократится полученная точность может не удовлетворять исследователя. Для приближенной оценки точности решения можно использовать способ Рунге.

Способ Рунге для оценки такой погрешности.

Предполагает, что на зад.интервале решение выполняется с постоянным по величине шагом, а затем решение выполняется с удвоенным по величине шагом H=2h. Пусть при этом используется метод m-го порядка точности. Тогда на отдельном шаге h величина локальной погрешности составит: .

Предполагаем, что c шагом h выполняется 2n шагов, тогда Н→n.

Предположение на котором основан метод Рунге заключается в том, что на отдельном шаге погрешность равна:

- приближенное решение в конечной точке t_k после 2n шагов величины h.

- приближенное решение в точке t_kпосле n шагов величиной H=2h.

Y_2n – неизвестное решение.

Считая на каждом шаге погрешность одинаковой, можно записать:

При вычислении с удвоенным шагом:

Система двух уравнений с двумя неизвестными A и Y_2n. Решая, получим:

_{Уклонение точного решения от приближенного:}

_{В частности для более распространенного метода Рунге-Кутта 4-го порядка (m=4):}

_{Ещё раз заметим, что в основе этой оценки лежит предположение, что на отдельном шаге погрешность равна}

2. Использование интерполирования при решении различных задач и реализация в среде MathCad

У нас задачи интерполирования заключались в том, чтобы в узлах совпадало только значение функции. Понятно, что аналогичную задачу можно сформулировать выдвигая требования, чтобы в узлах совпадали ешё и значения производных. Если говорить только о первых производных, то задача решается с помощью полином Эрмита, которые будут аналогами базисных функций. Кроме того в некоторых ситуациях нужно выполнять интерполяцию для функции нескольких переменных.

Идея интерполирования лежит в основе многих методов приближенных вычислений: