17.Система с базисом, общий случай m уравнений, n неизвеcтных
Системой
m
линейных уравнений с n
неизвестным и называется
система вида
гдеaij
и bi
(i=1,…,m;
b=1,…,n)
– некоторые известные числа, а x1,…,xn
– неизвестные. В обозначении коэффициентов
aij
первый
индекс i
обозначает
номер уравнения, а второйj
– номер неизвестного, при котором стоит
этот коэффициент.
Коэффициенты
при неизвестных будем записывать в виде
матрицы
,
которую назовём матрицей
системы.
Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами. Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.
Могут возникнуть три ситуации:
Система может иметь единственное решение.
Система может иметь бесконечное множество решений. Например,
.
Решением этой системы является любая
пара чисел, отличающихся знаком.И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например,
,
если бы решение существовало, тоx1
+ x2равнялосьбыодновременнонулю
и единице.
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.
Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных. Общимрешениемразрешеннойсистемыуравненийназываетсясовокупностьвыраженийразрешенныхнеизвестныхчерезсвободныечлены и свободные неизвестные. Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.
Билет 18. Метод Жордана-Гаусса решения систем
Процесс решения системы уравнений методом Жордана - Гаусса, состоит из двух этапов. На первом этапе система приводится к ступенчатому виду, путемпоследовательногоисключенияпеременных.Навторомэтаперешениямыбудемпоследовательнонаходитьпеременныеизполучившейсяступенчатойсистемы.
Выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.
Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
Все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки.
Из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.
Далее проводим такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
После повторения этой процедуры n-1 раз получаем верхнюю треугольную матрицу
Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
Повторяем предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получаем единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
