8. Соединения и формула бинома Ньютона.

Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

,

где   — биномиальные коэффициенты,   — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд.

Различные  группы,   cоставленные из каких-либо   предметов и отличающиеся   одна   от другой или порядком  этих предметов или  самими   предметами,  называются вообще соединениями.

Если, например, из 10 различных цифр: 0,1, 2, 3,... 9 будем составлять группы по нескольку цифр в каждой, напр, такие: 123, 312, 8056, 5630, 42 и т. п., то будем получать различные соединения из этих цифр. Из них некоторые, напр. 123 и 312, различаются только порядком предметов, другие же, напр. 8050 и 312, разнятся самими предметами (и даже числом предметов).

Предметы, из которых составляются соединения, называются элементами и обозначаются обыкновенно буквами а, b, с,...

Соединения могут быть трех родов: размещения, перестановки и сочетания. Рассмотрим их отдельно.

Размещения. Пусть число предметов, из которых мы составляем   различные   соединения,  равно  3   (напр,  три  карты); обозначим эти предметы  а, b, и с. Из них  можно  составить соединения

по одному:	а, b, с,
по два:	ab, ас, bс; bа, са, сb,
по три:	abc, асb, bас, bса, cab, cba.

Возьмем из этих соединений соединения по 2. Они отличаются одно от другого либо предметами, напр. аb и ас, либо порядком предметов, напр. аb и bа, но число предметов в них одно и то же. Такие соединения называются размещениями из 3 элементов по 2.

Вообще размещениями из m элементов по n называются такие соединения, из которых каждое содержит n элементов, взятых из данных m элементов, и которые отличаются одно от другого или предметами или порядком предметов(значит, предполагается, что n < m). Так, написанные выше соединения по 3 будут размещены из 3-х элементов по 3 (различаются только порядком), соединения по 2 будут размещены из 3-х элементов по 2 (различаются или предметами или порядком).

Размещения из данных m элементов могут быть по 1,по2, по 3,... и, наконец, по m.

Иногда бывает нужно знать число всевозможных размещений, которые можно составить из m элементов по п, не составляя самих размещений. Число это принято обозначать так: Аⁿ_m (здесь A есть начальная буква французского слова „arrangement", что значит размещение). Чтобы найти это число, рассмотрим прием, посредством которого можно составлять всевозможные размещения.

Пусть нам дано m элементов: а, b, с,... k, l. Сначала составим из них все размещения по одному. Их, очевидно, будет m. Значит: А¹_m = m. Теперь составим все размещение по два. Для этого к каждому из ранее составленных размещений по одному приставим последовательно все оставшиеся m — 1 элементов но одному. Так, к. элементу априставим последовательно оставшиеся элементы: b, с,... k, l; к элементу b приставим последовательно оставшиеся элементы: a, с,... k, l  и т. д. Тогда получим следующие размещения по два:

Так как всех элементов m, то из каждого размещения по 1 элементу мы получим m — 1размещений по 2, а всего их будет (m — 1) m. Очевидно, что других размещений по 2 быть не может. Значит:

А²_m = m (m — 1).

Чтобы составить теперь размещения по 3, берем каждое из составленных сейчас размещений по 2 и приставляем к нему последовательно по одному все m — 2оставшихся элементов. Тогда получим следующие размещения по 3:

Так как число всех размещений по 2 равно m (m — 1) и из каждого получается (m — 2) размещения по 3, то всех таких размещений окажется:

(m — 2) [m (m — 1)] = m (m — 1) (m — 2).

Таким образом:

А³_m = m (m — 1)(m — 2).

Подобно этому получим:

А⁴_m = m (m — 1)(m — 2)(m — 3);

А⁵_m = m (m — 1)(m — 2)(m — 3)(m — 4), и вообще:

Аⁿ_m= m (m — 1)(m — 2) ... [m— (n— 1)].

Такова формула размещений; ее можно высказать так: число всевозможных размещений из m элементов по n равно произведению п последовательных целых чисел, из которых большее есть m.

Таким образом:

А²₄ = 4• 3 =12;  А³₄ = 4• 3 • 2 = 24,

А⁴₈= 8• 7• 6• 5 = 1680,  и т. п.

 Перестановки. Если размещения из m элементов взяты по n (и значит,   различаются   только   порядком  элементов), то такие   размещения называютсяперестановками. Напр., перестановки из двух элементов а и b будут размещения из 2-х по 2, т. е. аb и bа,  перестановки  из 3-х  элементов будут размещены из 3-х по 3, т. е. аbс, aсb, bас, bca, cab, сbа, и т. п.

Число всевозможных перестановок из m элементов обозначается Р_m (здесь Р есть начальная буква французского слова „permulation", что значит: перестановка).

Так как перестановки из m элементов — это размещения из m по m, то формула перестановок будет такая:

Р_m = А^m_m = m (m — 1)(m — 2) ... 3 • 2 • 1 = 1 • 2 • 3 ... (m — 1) m,

т. е. число  всевозможных  перестановок  из  m  элементов равно произведению натуральных чисел от 1 до m.

Сочетания. Если из всех размещений, которые можно составить из m элементов по n, мы отберем только те, которые одно от другого разнятся, по крайней мере, одним элементом, то получим размещения, которые называются сочетаниями.

Напр., из 4 элементов а, b, с и d, сочетания по 3 будут:

abc, аbd, acd, bcd.

Если в каждом из этих сочетаний сделаем всевозможные перестановки,   то   получим всевозможные  размещeния  из   4-х элементов по 3.

Число таких размещений равно, очевидно, 6•4 = 24.

Таким образом, число всех размещений из m элементов по n равно числу всех сочетаний из m элементов по n, умноженному на число всех перестановок, какие можно сделать из n элементов, т. е.

Аⁿ_m  =  C ⁿ_m Р_n

где C ⁿ_m  означает число всех сочетаний из m по n (С  есть начальная буква французского слова  "combinaison" ,  что   значит: сочетание).

Отсюда выводим следующую формулу  сочетаний: