23. Умножение (произведение) векторов. Скалярное, векторное, смешанное и двойное векторное произведение. Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение на множестве геометрических векторов вводится, как

Скалярное произведение любого вектора   и какого-то единичного вектора   естьпроекция (ортогональная проекция) вектора   на направление этого единичного вектора:

Легко видеть, что скалярное произведение может быть записано через операцию (ортогонального) проецирования:

(где   — проекция вектора   на направление  ,   — проекция вектора   на направление  ).

• В абстрактном подходе обычно сперва вводят скалярное произведение, а уже через него определяют понятие угла, ортогональность, ортогональную проекцию.

Векторное произведение

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора   на вектор   называется вектор  , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора   равна произведению длин векторов   и   на синус угла φ между ними

• вектор   ортогонален каждому из векторов   и 

• вектор   направлен так, что тройка векторов   является правой.

Обозначение: 

Геометрически векторное произведение   есть ориентированная площадьпараллелограмма, построенного на векторах  , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е 

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть 

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством: 

Геометрическая интерпретация смешанного произведения.

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние   векторов   — скалярное произведениевектора   на векторное произведение векторов   и  :

(равенство здесь записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения, часто встречающихся в литературе).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведениемвекторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее —псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение   есть (ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах  .

То есть абсолютная величина его есть просто объем этого параллелепипеда (в общем случае — косоугольного), а знак определяется тем, представляют ли векторы   правую тройку (тогда плюс) или левую (тогда минус). Иногда при использовании левого базиса знак может быть определен противоположным образом.

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции«векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно являетсяантикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».

Векторное произведение в трёхмерном пространстве.