Группы преобразований

• Эксцентриситет двух невырожденных конических сечений совпадает тогда и только тогда, когда они могут быть переведены друг в друга преобразованием подобия.

• Аффинные преобразования сохраняют только знак эксцентриситета, т.е. с точки зрения аффинной геометрии существует только три различных невырожденных конических сечения: эллипс, парабола и гипербола.

• Все невырожденные конические сечения неразличимы в проективной геометрии.

20. Трехмерное евклидово пространство. Поверхности второго порядка.

Евклидово пространство (также Эвклидово пространство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно  -мерное евклидово пространство обозначается  , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение  .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство   с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где   (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть   с метрикой, введённой по формуле:

,где   и  .

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов  ,  ,  ,  ,  ,   отличен от нуля.

Цилиндрические поверхности

Поверхность   называется цилиндрической поверхностью с образующей  , если для любой точки   этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей  , целиком принадлежит поверхности  .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность   имеет уравнение  , то   — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси  .

Кривая, задаваемая уравнением   в плоскости  , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называетсяцилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:

Конические поверхности

Коническая поверхность.

Поверхность   называется конической поверхностью с вершиной в точке  , если для любой точки   этой поверхности прямая, проходящая через   и  , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция   называется однородной порядка  , если  выполняется следующее: 

Теорема (об уравнении конической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность  задана уравнением  , где   — однородная функция, то  — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность   задана функцией  , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то   называется конической поверхностью второго порядка.

• Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид: