§ 156. Интерференция волн

Согласованное протекание во времени

и пространстве нескольких колебательных

или волновых процессов связывают с по-

нятием когерентности. Волны называются

Глава 19. Упругие волны

247

Рис. 221

когерентными, если разность их фаз оста-

ется постоянной во времени. Очевидно, что

когерентными могут быть лишь волны,

имеющие одинаковую частоту. При нало-

жении в пространстве двух (или несколь-

ких) когерентных волн в разных его точ-

ках получается усиление или ослабление

результирующей волны в зависимости от

соотношения между фазами этих волн.

Это явление называется интерференцией

волн.

Рассмотрим наложение двух когерент-

ных сферических волн, возбуждаемых то-

чечными источниками Si и S? (рис.221),

колеблющимися с одинаковыми амплиту-

дой Ай и частотой <о и постоянной разно-

стью фаз. Согласно A54.7),

Ло

?,= cos {(at — k,

т\

AQ

|2= cos (Ш — k

Ч

где г\ и гг — расстояния от источников

волн до рассматриваемой точки В, k —

волновое число, ф! и фг — начальные фазы

обеих накладывающихся сферических

волн. Амплитуда результирующей волны

в точке В по A44.2) равна

cos [k (n —гг) — (ф| —

Так как для когерентных источников

разность начальных фаз (ф| — фг) = const,

то результат наложения двух волн

в различных точках зависит от величи-

ны Д = ri — г2, называемой разностью хо-

да волн.

В точках, где

* (г\ — г2) — (ф, — ф2)= ±2тп

(т = 0, 1,2,...), A56.1)

наблюдается интерференционный макси-

мум: амплитуда результирующего колеба-

ния А=Ай/г\-\-Ай/г% В точках, где

(г, —г2) — (ф, — ф2)= ±Bт+ 1) я

(т = 0, 1,2, ...),

A56.2)

наблюдается интерференционный мини-

мум: амплитуда результирующего колеба-

ния A=\A<,/ri—An/r2\ (m = 0, I, 2, ...,)

называется соответственно порядком ин-

терференционного максимума или мини-

мума.

Условия A56.1) и A56.2) сводятся

к тому, что

г,—/-2 = const. A56.3)

Выражение A56.3) представляет собой

уравнение гиперболы с фокусами в точках

Si и S2- Следовательно, геометрическое

место точек, в которых наблюдается уси-

ление или ослабление результирующего

колебания, представляет собой семейство

гипербол (рис. 221), отвечающих условию

ф, — ф2 = 0. Между двумя интерференци-

онными максимумами (на рис. 221 сплош-

ные линии) находятся интерференционные

минимумы (на рис. 221 штриховые линии).

§ 157. Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются

стоячие волны — это волны, образующие-

ся при наложении двух бегущих волн, рас-

пространяющихся навстречу друг другу

с одинаковыми частотами и амплитудами.

Для вывода уравнения стоячей волны

предположим, что две плоские волны рас-

пространяются навстречу друг другу

вдоль оси х в среде без затухания, причем

обе волны характеризуются одинаковыми

амплитудами и частотами. Кроме того,

начало координат выберем в точке, в кото-

рой обе волны имеют одинаковую фазу,

а отсчет времени начнем с момента, когда

фазы обеих волн равны нулю. Тогда со-

248

4. Колебания и волны

ответственно уравнения волны, распро-

страняющейся вдоль положительного на-

правления оси х, и волны, распространяю-

щейся ей навстречу, будут иметь вид

,=Л cos(<o/ — kx),

='4 cos

(i57.i;

Сложив эти уравнения и учитывая, что

й = 2я/>. (см. A54.3)), получим уравнение

стоячей волны:

= 2>4 cos

cos ш/ =

= ЧА cos Bя*Д) cos

A57.2)

Из уравнения стоячей волны A57.2)

вытекает, что в каждой точке этой волны

происходят колебания той же частоты ш

с амплитудой Аст= \2А cos Bл.х/К)\, зави-

сящей от координаты х рассматриваемой

точки.

В точках среды, где

2пх/Х=±тп (т = 0, 1,2, ...), A57.3)

амплитуда колебаний достигает макси-

мального значения, равного 2 А. В точках

среды, где

2яхД=±(т+1/2)я (т = 0, 1, 2, ...),

A57.4)

амплитуда колебаний обращается в нуль.

Точки, в которых амплитуда колебаний

максимальна (ЛСТ = 2А), называются

пучностями стоячей волны, а точки, в ко-

торых амплитуда колебаний равна нулю

(Лст = 0), называются узлами стоячей во-

лны. Точки среды, находящиеся в узлах,

колебаний не совершают.

Из выражений A57.3) и A57.4) полу-

чим соответственно координаты пучностей

и узлов:

Xn=±m~ (m = 0, 1,2, ...), A57.5)

= 0,1,2,...).

A57.6)

Из формул A57.5) и A57.6) следует, что

расстояния между двумя соседними пуч-

ностями и двумя соседними узлами одина-

ковы и равны к/2. Расстояние между со-

седними пучностью и узлом стоячей волны

равно К/4.

В отличие от бегущей волны, все точки

которой совершают колебания с одинако-

вой амплитудой, но с запаздыванием по

фазе (в уравнении A57.1) бегущей волны

фаза колебаний зависит от координаты

х рассматриваемой точки), все точки стоя-

чей волны между двумя узлами колеблют-

ся с разными амплитудами, но с одинако-

выми фазами (в уравнении A57.2) стоя-

чей волны аргумент косинуса не зависит

от х). При переходе через узел множитель

2А cos BлхД) меняет свой знак, поэтому

фаза колебаний по разные стороны от

узла отличается на я, т. е. точки, лежащие

по разные стороны от узла, колеблются

в противофазе.

Образование стоячих волн наблюдают

при интерференции бегущей и отраженной

волн. Например, если конец веревки за-

крепить неподвижно, то отраженная

в месте закрепления веревки волна будет

интерферировать с бегущей волной и об-

разует стоячую волну. На границе, где

происходит отражение волны, в данном

случае получается узел. Будет ли на гра-

нице отражения узел или пучность, за-

висит от соотношения плотностей сред.

Если среда, от которой происходит отра-

жение, менее плотная, то в месте отраже-

ния получается пучность (рис. 222, а), ес-

ли более плотная — узел (рис. 222, б). Об-

разование узла связано с тем, что волна,

отражаясь от более плотной среды, меняет

фазу на противоположную и у границы

происходит сложение колебаний противо-

положных направлений, в результате чего

получается узел. Если же волна отражает-

ся от менее плотной среды, то изменения

фазы не происходит и у границы колеба-

ния складываются с одинаковыми фаза-

ми — получается пучность.

Если рассматривать бегущую волну,

то в направлении ее распространения пе-

реносится энергия колебательного движе-

ния. В случае же стоячей волны переноса

энергии нет, так как падающая и отражен-

ная волны одинаковой амплитуды несут

одинаковую энергию в противоположных

направлениях. Поэтому полная энергия

результирующей стоячей волны, заклю-