§ 154. Уравнение бегущей волны.

Фазовая скорость.

Волновое уравнение

Бегущими волнами называются волны, ко-

торые переносят в пространстве энергию.

Перенос энергии в волнах количественно

характеризуется вектором плотности по-

тока энергии. Этот вектор для упругих

волн называется вектором Умова (по име-

ни русского ученого Н. А. Умова A846—

1915), решившего задачу о движении

энергии в среде). Направление вектора

Умова совпадает с направлением переноса

энергии, а его модуль равен энергии, пере-

носимой волной за единицу времени через

единичную площадку, расположенную

перпендикулярно направлению распро-

странения волны. Для вывода уравнения бегущей во-

лны — зависимости смещения колеблю-

щейся частицы от координат и времени —

рассмотрим плоскую волну, предполагая,

что колебания носят гармонический ха-

рактер, а ось х совпадает с направлением

распространения волны (рис. 220). В дан-

ном случае волновые поверхности перпен-

дикулярны оси х, а так как все точки

волновой поверхности колеблются одина-

ково, то смещение ? будет зависеть только

от х и t, т. е. i = | (x, t).

На рис. 220 рассмотрим некоторую

частицу среды В, находящуюся от источ-

ника колебаний О на расстоянии х. Если

колебания точек, лежащих в плоскости

х = 0, описываются функцией g @, *) =

= Л cos (at, то частица среды В колеблется

по тому же закону, но ее колебания будут

отставать по времени от колебаний источ-

ника на т, так как для прохождения во-

лной расстояния х требуется время т =

= x/v, где v — скорость распространения

волны. Тогда уравнение колебаний частиц,

лежащих в плоскости х, имеет вид

i(*. t)=A cosw(? — x/v), A54.1)

откуда следует, что | (х, t) является не

только периодической функцией времени,

но и периодической функцией координаты

х. Уравнение A54.1) есть уравнение бегу-

щей волны. Если плоская волна распро-

страняется в противоположном направле-

Глава 19. Упругие волны

245

НИИ, ТО

В общем случае уравнение плоской

волны, распространяющейся вдоль поло-

жительного направления оси х в среде, не

поглощающей энергию, имеет вид

A54.2)

где /4=const — амплитуда волны, to —

циклическая частота волны, фо — началь-

ная фаза колебаний, определяемая в об-

щем случае выбором начал отсчета х и t,

[to (t—*/и)+фо]—фаза плоской волны.

Для характеристики волн использует-

ся волновое число

L 2я

Учитывая A54.3),

можно придать вид

2я

vT

A54.3)

уравнению A54.2)

A54.4)

Уравнение волны, распространяющейся

вдоль отрицательного направления оси х,

отличается от A54.4) только знаком чле-

на kx.

Основываясь на формуле Эйлера

A40.7), уравнение плоской волны можно

записать в виде

где физический смысл имеет лишь дей-

ствительная часть (см. § 140).

Предположим, что при волновом про-

цессе фаза постоянна, т. е.

= const. A54.5)

Продифференцировав выражение A54.5)

и сократив на ш, получим At djc = O,

откуда

6х

dt

A54.6)

Следовательно, скорость v распростране-

ния волны в уравнении A54.6) есть не что

иное, как скорость перемещения фазы во-

лны, и ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для

плоской волны, можно доказать, что урав-

нение сферической волны — волны, волно-

вые поверхности которой имеют вид кон-

центрических сфер, записывается как

I (/-, t)=— cos (tot — kr + ф0), A54.7)

где г — расстояние от центра волны до

рассматриваемой точки среды. В случае

сферической волны даже в среде, не по-

глощающей энергию, амплитуда колеба-

ний не остается постоянной, а убывает

с расстоянием по закону 1/л. Уравнение

A54.7) справедливо лишь для г, значи-

тельно превышающих размеры источника

(тогда источник колебаний можно считать

точечным).

Из выражения A54.3) вытекает, что

фазовая скорость

v = (o/k. A54.8)

Если фазовая скорость волн в среде за-

висит от их частоты, то это явление на-

зывают дисперсией волн, а среда, в кото-

рой наблюдается дисперсия волн, называ-

ется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной

изотропной среде в общем случае описы-

вается волновым уравнением — диффе-

ренциальным уравнением в частных про-

изводных

дх'

v2 dt2

или

dt2

A54.9)

где v — фазовая скорость, А=—~-\-

+Ь

дг2

— оператор

дх2

Лапласа. Ре-

шением уравнения A54.9) является урав-

нение любой волны. Соответствующей под-

становкой можно убедиться, что уравне-

нию A54.9) удовлетворяют, в частности,

плоская волна (см. A54.2)) и сфериче-

ская волна (см. A54.7)). Для плоской

волны, распространяющейся вдоль оси х,

волновое уравнение имеет вид

A54.10)

дх2 V dt2

246

4. Колебания и волны